Kkonkckicr: l'licr (irtliniidiinlr Systeme. 529 



von Quadraten in sich sell).st übcrgelion lasscji; es sind dies also 

 nur diejenigen Transformationen, liei welelieu sowohl die Sunune 

 der /// positiven Quadrate als auch die Summe der ii - in negativen 

 Quadrate in sich sell)st transformirt wird. Diese bilden aber eine 

 ^{)ii,(iit. i) + (//—?//) (/i — w — i))faehe Mannigfaltigkeit, und die 

 Difterenz : 



welche gleich )ii (n ui) ist, giebt also die Zald für die wirkliche 

 Mannigfaltigkeit der durcli orthogonale Transformationen aus der Form: 



!/\ + !jl+ ... +yl -yl + , ^yl + ^"' ■ ■ . - yl 



entstehen(hMi (juadratisclu'U Formen an. 



II. 



Dass eine orthogonale Transformation, bei welcher die Siumne 

 der ui positiven Quadrate oder die Summe der n — iii negativen Quadrate 

 der Form : 



y\ ^ y\A- . . . + yi- yl+^ - yi+2 - ■ ■ ■ - y\ 



in sich selbst transformirt wird, keine neuen Systeme (r/,,.) liefert, ist 

 an sich klar, da bei zwei mittels der Substitutionssysteme: 



(C,,),(r,,) (/./.=. ..2....») 



nach einander ausgeführten orthogonalen Transformationen, von (h'iien 

 die erstere z. B. nur die Quadratsumme: 



y' + .(/2 + • • • + i/» 



in eine ebensolche Quadratsumme nlierführt. offenbar eine (piadratische 

 Form mit denselben C'oefficienten fl,y, resultirt. wie vv^enn nur die eine 

 Transformation mittels des Substitutionssystems (r,^..) angewendet wird. 

 Um dies aber auch an den oben angegebenen Ausdrücken der Elemente 

 ciii, nachzuweisen, sei: 



(4) (,■,!•= 1.2....«) 



(Las aus der Composition der Systeme (c,/,) und (r-^.) hervorgehende 

 orthogonale System und also: 



X hl- *"/"■ = ^''f' {g,h,i=ui,... n). 



// 



Gemäss der Gleicliung (6) ist nun: 



(9) fV/ = X ^'op ^'.w ~ X '''■!' ^''■'1 ^''' '/='•-•••") 



