Kronecker: Über orthogonale Systeme. 00 1 



(i = 1.2 n), 



(i=z 1,2,...») 



aher auch zugleich die u Grössen C/„: durch : 



ersetzt, und das so veränderte System der Grössen c liefert, wenn 

 es in den Gleichungen (6') verwendet wird, dasselbe System der 

 Grössen a^^. wie das ursprüngliche System der Grössen c. Nimmt man 

 hierbei : 



SO tritt )/r^, + r^, an Stelle von fy, und Null an Stelle von r^,. In 

 dem neuen Systeme der mn Grössen c ist also das erste Element der 

 Äten Horizontalreihe gleich Null. Das angegebene Verfahren kann 

 nun offenbar dazu angewendet werden, um zuvörderst die ersten Ele- 

 mente der sämmtlichen auf die erste folgenden Horizontalreihen, als- 

 dann die sämmtlichen zweiten Elemente der auf die zweite folgenden 

 Horizontalreihen u. s. f. gleich Null zu machen, und man kann auf 

 diese Weise zu einem Systeme von um Grössen c,ß gelangen, in welchem 

 alle Elemente, deren erster Index grösser als der zweite ist, gleich 

 Null sind, und welche immer noch die Bedingungen (1-2) erfüllen.' 

 Es genügt also, solche Systeme (r^) in den Gleichungen (6') zur Bil- 

 dung orthogonaler symmetrischer Systeme (a,,!-) zu verwenden. 



Die Systeme (r^,) von der angegebenen Beschaffenheit liestehen 

 nur noch aus den -^ "* ("' + ' ) Elementen : 



(y = 1 , 2 , . . . «t : \ 

 k=g,g + u...mj 



und aus den m (« — )ii) Elementen : 



/^=i,2,...m; \ 



V V'-='"+ 1.>"+2....,>)- 



Man kann sich dabei die letzteren m{n ;«) Elemente c;,,,, d.h. die 



Elemente der n — m letzten Verticalreihen , als unbestimmte Variable 



und die ersteren ^ m {m + 1) Elemente c^/,, welche in den ersten m 



' Die obige Rediiction eine.s nur durch die Bedingungen (12) besehränlvten 

 Systems variabler Grö.ssen fy auf ein solches, in welchem für y>i die Elemente 

 sämmtlich gleich Null sind, bleibt auch auf alle speci eilen Systeme reeller Grössen 

 <?( ohne Ausnahme anwendbar. Aber bei speciellen eomplexen Grössen kann der 

 Nenner yc^~+W gleich Null werden, und es bedarf dann einer anderen Art der Re- 

 ductioM. Statt, wie hier, elementare orthogonale Transformationen, d. h. solche zu 

 benutzen, welche die Summe zweier Quadrate in eine eben solche transformiren, hat 

 man alsdann von den elementaren Transformationen Gebrauch zu machen , bei welchen 

 eine Summe von zwei Produeten je zweier ^'ariabeln, also eine Form z^ z^ + z^Zj, 

 in sich selbst übergeht, sowie von denjenigen, bei welchen eine Form z'l + z, '% ^^ 

 sich selbst transformiit >vii'd. 



.Sltzuiig-sberiolite 1890. 4ö 



