Kronkckkr: l'her orthogonale Systeine. 5H3 



Denn es wird zuvörderst: 



2 '^pi ^'p-- = 2(^2 "^".w ^".w -^ "i? ) (2 2 ^'^h "'*'■ ~ K] , 



P P \ !} /\* / 



ff/, A = 1 . 2 /H : /;, y, »■ = 1 , 2, . . . ?;) 



und wenn man den Ausdruck auf der rechten Seite entwickelt, 

 so kommt: 



(15) -I- X "V? ^'•'ä'- 2 "'.w "V,/, — 4 2 "V? "V'- + ^yr • 



((/, h ^ 1,2, ... in; p,q,r ^ 1.2. ... n) 



Der erste Thell dieses Ausdrucks reducirt sicli aber mittels der 

 Congruenz: 



für das Modulsystem {'^) auf die Summe: 



4 2"'w^V i .9 = '•-■•••'») 



Y ' ■ \q,r=ui....nj' 



es ])leibt also in dem Ausdruck (15), wenn derselbe im Sinne der 

 Congruenz für das Modvüsystem (SDi) betrachtet wird . nur der letzte 

 Theil ^,1, übrig, und die Richtigkeit der Congruenz (14) ist hiermit 

 dargetlian. 



Nimmt man für die Grössen w^^ ganze Functionen irgend eines 

 Bereichs (9?, 9{', 9i! ". . . .), so ersieht man aus der Congruenz (14), 



dass die mittels der Gleichungen (13) definirten Grössen Up^, 

 im Sinne der Congruenz für das Modulsystem (9)^) oder für 

 irgend ein darin enthaltenes Modulsystem, ein ortho- 

 gonales symmetrisches System bilden. 

 Es tritt hierdurch in Evidenz, dass die Gleichungen (6'), welche aus 

 den Gleichungen (13) hervorgehen, indem man die Grössen ?« durch 

 die Grössen a und die Grössen ic durch die Grössen c ersetzt, ortho- 

 gonale symmetrische Systeme mit complexen Elementen a,/ liefern, 

 sobald man für die Grössen c complexe Grössen setzt, welche die 

 Gleichungen (12) befriedigen; denn die sämmtlichen Elemente des 

 Modulsystems (9)i) werden alsdann gleich Null , und die Congruenz ( 1 4) 

 geht in die Gleichung (3) über, durch welche das System (o;^.) als 

 ein orthogonales charakterisirt wird. Aber es bedarf noch des Nach- 

 weises, dass alle orthogonalen symmetrischen Systeme mit complexen 

 Elementen auf die angegebene Weise erhalten werden, und hierfür 

 ist nur nöthig zu zeigen, dass auch complexe Elemente «,4. in der 

 im art. I mit (i) bezeichneten Form: 



( I ) O* = '%Ph <-hi<-hk (h,i,lc=i.2,...n) 



k 



angenommen werden können. 



48' 



