Kronecker: Über orthogüiiale Systeme. 5ö5 



Die den ersten drei Fällen entspi'echenden elementaren Schaaren 

 "7 f/'y + '',/ "^y j nebst ihren recijjroken, sind: 



- 'h Y^iT + 2wj i;, i;,). 



aber in dem ersten Falle, wo sich ?<y (/>,,+ r,,-^/,, auf »,^^,^ redueirt, ist 

 dies keine eigentliche Schaar. Nmi gilt der beuierkenswerthe. viel- 

 fach mit Vortheil zu benutzende Satz: 



die recjproke eines Aggregats von (piadratischen Formen, 

 (•20) welche keine Variabein mit einander gemein haben, ist 



gleich dem Aggregat der reciproken der einzelnen Formen.' 

 Die reciproke von U(p -\- r-l/ ist daher gleich der Summe der reci- 

 proken derjenigen Formen: 



u^y:,, iu,jy,,y,._ + ryl,, ■2u„y,,,y,j, + ■ir,y^,y^., + «^ ?/=, , . . . , 



als deren Aggregat u^ + '"4^ dargestellt ist. und da die reciproke 

 jeder von diesen Formen, mit alleiniger Ausnahme der ersten, im 

 Nenner die zweite oder eine höhere Potenz einer linearen P^uiction 

 von n und r enthält, so ergiebt sich das Resultat: 



eine Schaar u^ -\- r-^ kann dann, und imr dann, in ehie 



Summe : 



?=■ 

 transformirt werden, in welcher ■//, , n... . . .■>(„ lineare homo- 

 gene Functionen von n , und y, , y2, • ■ -y,, lineare homogene 

 Functionen von a\ , x^, . . .x„ sind, wenn die reci])roke der 

 quadratischen Form: 



ufix, , X., , . . . X,) + v4'{Xt , X,, . . . X,) 



so dargestellt werden kann, dass der Nenner, welcher eine 

 homogene Function von 11 , r ist. keine gleichen Factoren 

 enthält. 

 Eben dieselbe Bedingung ist offenbar nothwendig und hinreichend für 

 die Möglichkeit der simultanen Transformation der beiden quadrati- 

 schen Formen: 



' Der Satz gilt ebenso für bilineare Foniieii. leli liabe ibii in iiieiiieii alge- 

 l)raischen Universitätsviirlesiiiigeu sehr häufig angewendet. Seine Uiehli^keii, ergiebt 

 sich nnüiillclliar aus der Rihbiniisweise reeiproker I'urinen. 



