Kronecker: l'ber orthogonale Systeme. 5H7 



IV. 



In den vorstehenden Entwickelungen ist nnchgewiesen worden, 

 dass die Elemente jedes ortliogonalen symmetrisclien Systems (n-^) 

 sich durch Gleiehmigen : 



(6) (':A- = ^C,,iC„k'- ^ C^if'/,/, U.k = ,,2....n) 



;/ -=l /, = m+l 



und zwar so darstellen lassen, dass die Grössen c die Elemente eines 

 orthogonalen Systems sind, aber die zu einer solchen Darstellung 

 erforderlichen Grössen r; sind nicht rational durch die (Grössen r/„, 

 bestimmt. Wird also das Problem der Aufstellung aller orthogonalen 

 symmetrischen Systeme dahin praecisirt, 



dass alle derartigen, einem gegebenen Rationalitäts- 

 bereich (SR, SR', 9i", . . .) angehörigen Systeme {a,j) auf- 

 gestellt werden sollen, 

 so bedarf die o1)en angegebene Lösung noch einer wesentlichen 

 Modification. 



Um diese darzulegen knüpfe ich an das im vorigen AIjschnitt 

 entwickelte Resultat an , dass für die Elemente eines orthogonalen sym- 

 metrischen Systems (o,^.) stets eine Transformationsgleichung besteht: 



u^xl+c^an.XiX^. = '^{nq,,+ rp,,)yl (/,, /, A-=: ,. 2....») , 



/.■' i.k I, 



in welcher ?/, , 7/3 ... . y„ lineare homogene Functionen von x^, x^, . . . x^ 

 sind. Benutzt man nun zur wirklichen Herleitung dieser Trans- 

 formationsgleichung, und also zur Bestimmung der Substitutionscoeffi- 

 cienten sowie der ('oefficienten j),, , q,, , das Reductionsverfahren , welches 

 ich für Schaaren quadratischer Formen in meiner im Monatsbericht 

 vom Januar 1874 abgedruckten Mittheilung auseinandergesetzt habe, 

 so ergeben sich diese (befficienten sämmtlich als Grössen desjeidgen 

 Rationalitätsbereichs, welchem die Coefficienten der Schaar, also hier 

 die Grössen fi;,,, und die verschiedenen Werthe des Verhältnisses u : v 

 angehören, für welche die Determinante der Schaar verschwindet. 

 Diese Werthe sind aber im vorliegenden Falle nur ± i , da aus der 

 oben im art. III mit (17) bezeichneten Gleichung unmittelbar erhellt, 

 dass die Determinante der Schaar: 



'"■ X ^'- + *' X "'''■ ^'^" (<: , A~ 1 . 2 , . . . «) 



/■ i.k 



keine anderen Linearfiictoren als n + r und 11 — v enthält. Sollen 

 also die Coefficienten r/,^ dem Rationalitätsbereich (SR , Sr, St", . . .) an- 

 gehören, so müssen, wenn die obige Transformation.sgleichung durch 

 die Substitution : 



