LiPSCHiTz: Beiiierkuiigt'ii übur die DilVurciitialt; von syinbol. Ausdriicki'ii. 12H 



nehme nun ausdrücklich an, dass hi der demnäclist anzustcUeiiden 

 Untersuchung von vorne herein über den Inlialt dieser Regeln keine 

 besondere Voraussetzung eingeführt werde. Die auf" diese Weise defi- 

 nirten symbolischen Ausdrücke umfassen dann die von Weierstrass 

 in dem erwähnten Aufsatze, und von Dedekind in dem gleichnamigen 

 Aufsatze. Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissen- 

 schaften zu Göttingen aus dem Jahre 1885,8.141, behandelten com- 

 plexen Grössen , desgleichen die Quaternionen , ferner die in meiner 

 Schrift: Untersuchungen über die Summen von Quadraten, Bonn 1886, 

 erörterten complexen oder bicomplexen Ausdrücke verschiedener Ord- 

 nungen, wie auch andere Systeme von complexen Grössen, endlich 

 die Gesammtheit derjenigen Ausdrücke, welche Gauchy mit dem Namen 

 clefs algebriques bezeichnet und zu verschiedenen Zwecken angewendet 

 hat. Auf dieselben beziehen sich die Arbeiten: Sur les clefs alge- 

 briques, Comj^tes rendus de l'Academie des sciences de Paris, Jan vier 

 1853, P-70 und p. 129; sur les avantages que presente dans un grand 

 nombre de questions l'emploi des clefs algebriqiies , ibidem Janvier 

 1853, p. 161; Memoire sur les differentielles et les variations employees 

 comme les clefs algebriques, ibidem Juillet 1853, P-3^ ^^'^ P-57; Exer- 

 cices d'analyse et de physique mathematique , tome4, p. 356, Memoire 

 sur les clefs algebriques. 



Unter dem Differential eines gegebenen symbolischen Ausdrucks 

 wird derjenige Ausdruck verstanden, welcher aus dem gegebenen ent- 

 steht, indem der reelle Bestandtheil eines jeden eingehenden Products 

 durch das Differential dieses reellen Bestandtheils ersetzt wird. Für 

 den obigen Ausdruck A wird demnach das Differential ^A durch die 

 Gleichung definirt 



(3) M = ej^, + ej^, + . .. + e,^P,. 



Hierbei bemerke ich, dass in der angeführten Abhandlung: Me- 

 moire sur les differentielles et les variations employees comme clefs al- 

 gebriques Gauchy von dem Verfahren «.der Differentiation oder Variation 

 einen anderen Gebrauch gemacht hat. Er benutzt nämlich die Zeichen 

 der Differentiale oder Variationen selbst als Symbole, welche nach be- 

 bestimmten Regeln durch andere Ausdrücke ersetzt werden. 



2. 



Nach der soeben aufgestellten Definition kann das erste Differen- 

 tial eines Products von zwei oder mehreren symbolischen Ausdrücken 

 gebildet werden, indem man in dem bezüglichen Product zuerst statt 

 des ersten Ausdrucks dessen Differential, dann statt des zweiten Aus- 



