1 HO Sitzung der phy.sikaliscli - mathematischen Classe vom Ki. Fo-bruar. 



In der obigen Gleichung (8) kann jetzt nach dem in Art. 2 auf- 

 gestellten Grundsatz von den beiden Seiten das Differential genommen 

 werden, wobei die Ausdrücke A und i^^x, + i^.x^ + i,^ als variabel gel- 

 ten , der Ausdruck 4^^, + i^^y^ + i^y^ aber als fest zu behandeln ist. 

 Auf diese Weise entsteht die Relation 



(i 2) ^\{i^^x^ + i^^x^ -J- it^^i) + ^(hs^^i + ^31^X2 + «i2<^^3) 



= iiiy. + i^.^/. + Lyi)^^- 



Multiplicirt man imn beide Seiten links mit dem zu A conjugirten 

 Quaternion A', und beachtet, dass aus (8), indem zu jeder der beiden 

 Seiten der conjugirte Ausdruck genommen wird, die Gleichung 



(13) (is-^'i + ''3. '»'. + LX3) ^' = ^^' (^'^3^1 + '31^3 + «„^3) 

 folgt, so erhält man die Relation 



( 1 4) A'A (ijj ^x, + ^'3, ^x^ + i,3 ^x^) 



= — \.'S\{i^^x, + ij,x^ + «iz-i'j) + {LjXj + i^,x^ + 1,^x^)A'^A. 



Da A'A gleich der Norm von A, also reell ist, so ergiebt sich 

 aus (14), indem für beide Seiten der conjugirte Ausdruck gebildet 

 wird, die Relation 



(15) A'A ( /.j ^x, 4- i, , ^x^ + /, 3 &C3) 



= — (^s^i + '31^2 + 42^3)<5'A'A + (5~A'A(43.'r, + ijjj-, -+- «12X3). 

 Durch Addition von (14) und (15) kommt die Gleichung 



( 1 6) 2 A'A (2,3 ^x, + /j, ^x^ + i^^x^) 



= (ÄA'A — A'i^A) (^3^;, + «3,Xj + i,,x^) — {^3 X, + «3,.t'2 + «', j x^) (<5a'A — A'^A), 



deren linke Seite durch { 1 1 ) so bestimmt ist 



( 1 7) ^3 kv, + i^, ^x, -f- i,, ^x^ = 43(( 2 , I ) .r, -1- (3 , I ) x^ 



+ «3.((i' 2).c,-4-(3, 2);f;3) 

 + «,,((! , 3).c, + (2, i)x,). 



Weil nun x^ , x, , x^ vollständig unabhängige reelle Grössen sind, 

 so müssen die folgenden drei Gleichungen bestehen, welche durch 

 Gleichsetzen der Factoren von x^ , x^ , x^ erhalten werden, 



l 2A'a(23,(i , 2) + i,,{i , 3)) = (,5'A'A — A'^A)43 — ^jlM'A — A'(^A) 



(18) I 2A'a(43(2 , l) + /:„(2 , 3)) = (^A'A — A'^A) «3,-/3, ((^A'A — A'^A) 

 [ 2A'a(43(3 , i) + /3,(3 , 2)) = ((^A'A — A'^\V)2„ — «„(<^A'A — A'^A). 



Von diesen Gleichungen möge die erste mit ^3 , die zweite mit 

 /j, , die dritte mit i^^ , und zwar stets links multiplicirt und die Summe 

 genommen werden. Dann entsteht auf der linken Seite der Ausdruck 



(19) 4A'a(2;3(2, 3) + /3,(3, i) + 2r,(i , 2)), 



