LirscHiTz: Briiu-i-kiiiigcM üIjlt die Dill'i.Teutiale von syinbul. Ausdi-iickuii. 13ü 



Da der Ausdruck ^\'A — A'^A mit dem ilim entgegengesetzt glei- 

 chen — (^A'AH-A'i^A conjugirt ist, so kann derselbe keinen reellen 

 Bestandtheil enthalten. Ferner leuchtet ein, dass zu jedem symboli- 

 schen Ausdruck der n'^'" Ordnung M der Aiisdruck k^Mk^ in einer sol- 

 chen Beziehung steht, dass jeder Bestandtheil, dessen symbolischer 

 Factor das Primitivzeiclien /"„ enthält, ungeändert bleibt, dagegen 

 jeder Bestandtheil, dessen symbolischer Factor /:„ nicht enthält, mit 

 — I multiplicirt erscheint. In dem Aggregate der n letzten Summanden 

 von (19) sind die Ausdrücke /i^MA:« für M = (^A'A — A'i^A und für alle 

 Werthe a = 1, 2, ... /i vereinigt. Die auftretenden symbolischen Fac- 

 toren sind immer aus einer geraden Anzahl von Primitivzeichen zu- 

 sammengesetzt. Bei einem in ein Product von 2v differenten Primitiv- 

 zeichen multiplicirten Bestandtheil liefert die zu bildende Summe offenbar 

 2v Fälle, in denen der betreffende Bestandtheil ungeändert bleibt, und 

 n — 2v Fälle, in denen er mit — i multiplicirt wird. Zu dem Bestand- 

 theil tritt also der Zahlenfactor — n-i-^v. Daher ist das ganze Aggre- 

 gat (19) gleich demjenigen Ausdruck, welcher aus ÄA'A — A'i^A hervor- 

 geht, sobald jeder in ein Product von 2v Primitivzeichen multiplicirte 

 Bestandtheil mit dem Zahlenfactor 4V versehen wird. Weil aber das 

 Aggregat (19) gleich dem Ausdruck (18) ist und dieser nur aus den 

 Producten von zwei Primitivzeichen besteht, so müssen in (19) alle 

 diejenigen Bestandtheile fortfallen, welche in Producte von mehr als 

 zwei Primitivzeichen multiplicirt sind. Daher ist ^A'A — A'(^A nur 

 gleich einem Aggregat von Bestandtheilen, di« in Producte von zwei 

 Primitivzeichen umltiplicirt sind, oder die vorhin mit 2v bezeichnete 

 Zahl hat nur den Werth Zwei. In Folge dessen ist das Aggregat (19) 

 noth wendig gleich 4(^A'A — A'ÄA). Wenn man jetzt beachtet, dass in 

 (18) die Ausdrücke {a,a) gleich Null sind, und dass, weil kf,ka = — k^k,, 

 und gleichzeitig (b,a) = — («,/>) ist, die mit den Producten von zwei 

 differenten Primitivzeichen behafteten Ausdrücke doppelt auftreten, so 

 ist klar, dass auch (18) den Factor Vier hat. Indem eine auf alle 

 differenten Paare von Zahlen a , b bezügliche Summe mit bezeichnet 

 wird, entsteht also durch Weglassung des Factors Vier die zu bewei- 

 sende Gleichung 



( 2 O) A' A [ k„ k,, (a ,h) = ^A'\ — A'^A . 



Es bleibt noch hinzuzufügen, dass alle angestellten Betrachtun- 

 gen auch auf das Gebiet übertragen werden können, welches in der 

 angeführten Schrift in III behandelt ist. Hier sind die Systeme von 

 Variabein x, ,x^, . . . x„, die Systeme von Variabein 1/, ,1/^, . . . i/„ und 

 die Coefficienten der Substitution , durch welche die Gleichung 

 xi + xl-h . . . +x'„ =^ f,-h 1/1 + ■ ■ ■ yl 



