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Über die singulären Lösungen der algebraischen 

 Differentialgleichungen höherer Ordnung. 



Von Prof. Dr. M. Hamburger 



(Vorgelegt von Hrn. Fuchs. 



Im Folgenden wird versucht, die Grundzüge einer Methode zu ent- 

 wickeln , die in einer demnächst erscheinenden ausführlichen Arbeit 

 für die Theorie der singulären Lösungen algebraischer Differentialglei- 

 chungen höherer Ordnung zur Anwendung kommt. Sie ist die Aus- 

 dehnung eines Verfahrens, das der Verfiisser in der Abhandlung »Über 

 die singulären Lösungen der algebraischen Differentialgleichungen erster 

 Ordnung« (Ceelle's Journal, Bd. 112 vS. 205 ff) eingeschlagen hat, und 

 beruht auf einem Principe, das der Arbeit des Hrn. Fuchs »Über die 

 Differentialgleichungen, deren Integrale feste Verzweigungspunkte be- 

 sitzen«' zu Grunde liegt. 

 Es sei 



/(.r yy '.../") = (i) 



eine Differentialgleichung ?^'" Ordnung, in der / eine ganze rationale 

 Function der unabhängigen Variablen x, der abhängigen Variablen y 

 und ihrer Ableitungen bis zur 7i'^" Ordnung bedeutet. / sei ferner vom 

 m'"' Grade in y"', die Goefficienten der Potenzen von y*"* seien ohne 

 gemeinsamen Theiler und die Function / in dem Sinne irreductibel, 

 dass sie nicht in Factoren niedrigeren Grades in Bezug auf ?/*"* mit 

 in X y y' . . . ?/<""'' ganzen rationalen Goefficienten zerlegbar sei. Durch 

 Elimination von y*"* aus den Gleichungen 



n.y,/....r) = o und "^i^i^^^o 



gehe die Discriminantengleichung 



^{^yy'---y~") = o (2) 



hervor, welche die Bedingung dafür liefert, dass mehrere Wurzeln _y'"* 

 der Gleichung (i) einander gleich werden. Ist «/'""" = yi(x y y'. . .y"~") 



' Sitzungsberichte 1884. 8. 699 ff. 



