Hamhurokr: Ul)pr singulare Lösungen. 141 



eine Wurzel der Gleicliung (2), die in der Umgebung eines willkür- 

 lichen Werthsysteras x ^ x^ , 1/ := y„ . . . y*"~'' = i/i""''' in eine Reihe nach 

 ganzen positiven Potenzen von x — .r,, , y — J/o • • • y"" '' — ^o"'"''^ entwickel- 

 bar ist, so werden durch die Gleichung 



/(^.'y.y'---y''"">>i>y'"') = o (3) 



innerhalb des Convergenzbereiches von vi in der Umgebung des ge- 

 nannten Werthsystems n Functionen y/*"' der Variablen x y y' . . .y^^~'^^ 

 definirt, von denen einige miteinander zusammenfallen werden. Mögen 

 nun f < m solche Functionen gleich (^ werden, wo ^ zunächst nicht 

 identisch unendlich sei, so giebt es ebenso viele der Gleichung (i) 

 genügende algebraische Functionen y'"' von ?/*""'' mit von x y y' . . ■y''"~'^ 

 abhcängcnden Coefficienten, die für 7/*""''=-/] in den gemeinschaftlichen 

 Wurzel werth ^ übergehen. Diese Functionen ?/'"' werden im Allgemei- 

 nen in Gruppen von zusammenhängenden Zweigen zerfallen , und eine 

 solche Gruppe lässt sich in der Form darstellen 



i/"" - < = //o(y"-" - ■<)•' + gAy^"-'' - ^y -H . • • , (4) 



wo X und a positive ganze Zahlen bedeuten, und g„,g, . . . ebenso wie 

 Yj und ^ nach ganzen positiven Potenzen von 



X — X, , y — y^y'—yl... _?/'«-') _ yj,"- ^) 



fortschreitende, in der Umgebung des Werthsystems {x^y„. . .y^'^^'^) 

 convergente Reihen sind, von (/^ wird noch vorausgesetzt, dass es nicht 

 identisch verschwinde. Für die weitere Behandlung der Gleichung (4) 

 ist es wesentlich zu unterscheiden , ob die Differentialgleichung 71 — i '" 

 Ordnung 



ein Integral erster Ordnung der betrachteten Dift'erentialgleichung n^" 

 Ordnung (i) ist oder nicht. Im ersten Falle muss identisch 



3»] 8vi , 8>] „ 3>) , _ , 8»] 



< = 2:; + 5- .'/ + 577' .y + • • • + ^JTT(^^^ y'""' ■ 



3a: ' -dy'' "8//'-^ "■•• ' 8//("-3'"^ ' 3y<"-=' '~ 



sein, wo 1^ einen der y^""'' ^ >i entsprechenden ni Wurzelwerthe be- 

 deutet. 



Ist nun zunächst y*"^'' :=: v] kein erstes Integral der Dift'erential- 

 gleichung (i), also ^ von er verschieden, vmd bedeutet y ein pai'ti- 

 culäres Integral von der Beschaft'enheit, dass y, y' . . . y'"""'*, y^''~"\ y'"* 

 für X = x^ beziehlich die Werthe yo^o ■ • • I/o~'^ %^„ annehmen, wo 

 x^y^y'^ . . . ?/*,""'' ein System willkürlicher Werthe und *]<,, ^„ die Werthe 

 von Yi und ^ für x ^= x„ y =: y^ y' r= y'^ . . . y*"""' = yi""''' bedeuten, 

 so erhält man aus (4) die für dieses Integral gültige Entwickelung 



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