142 Gesamintsitzung vom 23. Februar. 



«/<"—' — )1 = ~ (x — x^) + y,{x — xS " + ..., (I) 



WO (Tj, den Wertli von <t für tla.s Werthsystem x^y^y'^ . . .y^^~'^^ be- 

 deutet, welches wir so gewählt denken, dass auch i^^ von a^ ver- 

 schieden ist. 



In dem Falle, dass für ?/*""'' = »i ein zugehöriger Werth von j/*"' 

 unendlich wird, also die Darstellung einer Zweiggruppe von y*"' als 

 Function von y'"~'' die Form hat 



wo Y. und a positive ganze Zahlen bedeuten, und über g^g,... die 

 obigen Voraussetzungen gelten, gelangt man für ein particuläres In- 

 tegral y von der Beschaffenheit, dass y y' . . . ?/*"""' y'""'' 3/'"* für x = x^ 

 beziehlich die Werthe y„ ^o • • • yi''~^\ 1o! co annehmen, zur Entwickelung 



^ 



)^oo) "l^' — ^J^'+^l*- — •:Po)""^'*+---, (II) 



wo (/oo den Werth von g^ für x =■ x^, y ^ y^, y' =^ yl, ... j/'"~"' = yi"""^* 

 bedeutet, der ebenfalls von Null vei-schieden vorausgesetzt wird. 



Die Entwickelungsformen (I) und (II), die allein statthaben, falls 

 y("-i) __ jj kein erstes Integral der Differentialgleichung (i) ist, 

 haben das charakteristische Merkmal gemeinsam, dass der Exponent 

 der niedrigsten in ihnen auftretenden Potenz von x — x^ 

 nicht grösser als Eins ist. 



Durch jeden Punkt einer der Gleichung y'''^'' = 'A genügenden 

 Curve gehen in diesem Falle mehrere Zweige von Integralcurven der 

 Differentialgleichung (i), die mit einander eine Berührung ?«'" Ordnung 

 haben, aber die erstere-Curve in keiner höheren als ra — i'" Ordnung 

 berühren. 



Ist y'"~'' = f\ ein erstes Integral der Differentialgleichung (i), also 

 einer der zugehörigen Werthe ^ von y*"' gleich er, so sind betreffs der 

 j)Ositiven ganzen Zahlen x und a, in der entsprechenden durch (4) dar- 

 gestellten Grujjpe zwei weitere Fälle zu unterscheiden. 

 I . y. <, OL. 



In diesem Falle gilt die Entwickelung 



~ ~^X \-v-xy-''+ü{x-xy^''+... (III) 



Durch jeden Punkt einer der Gleichung y*"""'' = n genügenden Curve 

 geht hier eine Gruppe von Integralcurven der Differentialgleichung (i), 

 die die erstere in der n'™ Ordnung und, falls die Gruppe nicht bloss 



