Hambuüoer: Über singulare Lösungen. 148 



aus einem Zweige besteht, auch einander in der ?*''" Ordnung be- 

 rülireu. Durch diese Eigenschaft cliarakterisirt sicli die Gleicliung 

 y('i-i) __ ^ .^i^ pijj singiiläres erstes IntegraL Bezeichnend für die 

 in diesem Falle geltende Entwickelungsform (III) ist, dass der Ex- 

 ponent der niedrigsten darin auftretenden Potenz von x — x„ 

 grösser als Eins ist. 

 2. X > ot — I. 



Hier reducirt sich die Entvvickelung von ^*"~'' — >) nach Potenzen 

 von X — x„ auf y"~'' — y\ = o. Also ist in diesem Falle 2/*""""' = >1 ein 

 particuläres erstes Integral der Differentialgleichung (i). Ausserdem 

 kann »/'""'> = )) zugleich ein singuläres erstes Integral sein, wenn es 

 für i/^"\ als algebraische Function von i/"~'\ Zweiggruppen gielit. in 

 deren Darstellung von der Form (4) t^ = t und x < ^ ist. 



Durch das Vorstehende sind die charakteristischen Merkmale dafür, 

 ob y"~'' ^ *) kein erstes Integral oder ein singuläres oder particuläres 

 erstes Integral von (i) darstellt, in der Gestalt der Entwickelung von 

 yn-O — .^ nach Potenzen von x — x„ gegeben. Aus den Entwickelungen 

 erhellt noch, dass ?/ in allen Fällen nach ganzen oder gebrochenen Poten- 

 zen von X — x„ entwickelbar ist, also nur algebraische Singularitäten auf- 

 weist, falls nicht zwischen den willkürlichen Werthen x^y^yl . . . y^^'~''^ 

 gewisse Bedingungsgleichungen bestehen. Bei Differentialgleichungen 

 von höherer als erster Ordnung, wo nicht mehr x„ allein in den Be- 

 dingungsgleichungen erscheint, kann daher y auch für stetig variirende 

 Werthe von x^ andere als algebraische Singularitäten besitzen , sofern 

 man für y„, y^ . . . yl^~^'' geeignete Werthe annimmt. 



Im zweiten Abschnitt wird eine Darstellung von 7i von einander 

 unabhängigen ersten Integralen der Differentialgleichung ( i ) in der Form 



</>(.c//.y'...y"->) = Const (5) 



gegeben, worin (p nach Potenzen von y*"~'' — yj entwickelt ist, deren 

 Coefficienten nach ganzen positiven Potenzen von x — h^oj !/ — !/o^ ■ • • 

 y(''-2) — yj,"""' fortschreitende Reihen sind. Hier ergeben sich folgende 

 Sätze: Ist ?/<""'' = >) kein erstes Integral der Differentialgleichung (i), 

 so ist der Exjwnent der niedrigsten Potenz von y^"~'^ — >] nicht kleiner 

 als Eins; ist 2/*""'* = v) ein erstes Integral, also in (4) ^ ^ er, aber 

 x<Ä, in welchem Falle das Integral als ein singuläres bezeichnet 

 wurde, so ist der Exponent der niedrigsten Potenz von ?/*""'' — *i in 

 der Entwickelung von (p kleiner als Eins; ist endlich unter den näm- 

 lichen Voraussetzungen wie im zweiten Falle k^ u. — i , so wird (p für 

 y(n-i) __ .^ constant, wodurch die Behauptung im ersten Abschnitt, 

 dass in diesem Falle J/*""'' = >) ein particuläres erstes Integral der 

 Differentialgleichung (i) ist, bestätigt wird. Auch die anderen im 



