144 Gesamnitsitzung vom 23. Februar. 



ei'sten Abschnitt bewiesenen S<ätze betrelTs der Gestalt der Entwicke- 

 lung von y"~'* — »] nach Potenzen von x — x„ in den beiden ersten 

 Fällen lassen sich aus den erwähnten für diese charakteristischen Dar- 

 stellungs formen der n unabhängigen ersten Integrale (5) in Reihen 

 nach Potenzen von «/'""'' — *) bei geeigneter Specialisirung der Con- 

 stanten C unmittelbar ableiten. 



Im Anschluss an diese Entwickelungen wird im dritten Abschnitt 

 die Existenz von n ersten Integralen in der Form 



F{xyy'...!j^''-^C) = o (6) 



abgeleitet, die vom w'™ Grade in C ist, worin ferner der Coefficient 

 von C" die Einheit ist und die Coefficienten der übrigen Potenzen 

 von C in der Umgebung eines willkürlichen Werthsystems 



in Reihen nach ganzen positiven Potenzen von 



X — x„ y — Uo ■ ■ ■ y"""' — i/i"~'' 

 entwickelt werden können. Die auszuschliessenden Werthsysteme sind 

 durch Bedingungsgleichungen zwischen x„y„y'„ . . . i/^~'''' gegeben, er- 

 füllen also Continuen n — i'" Dimension. Im Folgenden wird nun eine 

 solche primitive Gleichung (6) zu Grunde gelegt, und die aus der 

 Elimination von C zwischen den Gleichungen 



F = o, ^ = 



hervorgehende Discriminante 



untersucht. Bezeichnet man einen Theiler derselben wieder mit ?/*""'* — *), 

 so handelt es sich darum, festzustellen, wann y*""'* = >) ein erstes In- 

 tegral der aus (6) durch totale Differentiation nach x und Eliminirung 

 von C nach Abtrennung eines etwaigen j/'"' nicht enthaltenden Factors 

 hervorgehenden Differentialgleichung n*" Ordnung ist. Je nachdem 

 dann durch Einsetzung von ?/*""'' = >) in (6) keine der 7n Wurzeln C 

 oder einige oder alle constante Werthe erhalten, stellt ?/<""'' ^ ») ein 

 singuläres oder zugleich ein singuläres und particuläres oder nur ein 

 particüläres erstes Integral der Differentialgleichung dar. Nehmen wir 

 nun an, dass für ?/<""'* = >) etwa ^ Wurzeln C, die einander gleich 

 werden, einen nicht constanten Werth erhalten, so ergiebt sich, dass 

 in der Entwickelung von C, als durch die Gleichung (6) definirter 

 Function von »/'"', in eine Reihe nach Potenzen von ?/*""'' — >} mit von 

 x y y' . . . y'^"'~^^ abhängigen Coefficienten der Exponent der niedrigsten 

 Potenz nicht kleiner als Eins ist, wenn y"~'' := j] kein erstes In- 



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