Hamburger: Über singulare Lösungen. 145 



tegral der Differentialgleichung ist, dieser Exponent dagegen kleiner 

 als Eins ist, wenn y"~'* = v] ein erstes Integral und zwar, da C hier 

 nicht constant ist, ein singuläres ist. Im zweiten Abschnitt waren 

 wir, von der Differentialgleichung ausgehend, zu derselben Beschaffen- 

 heit der Exponenten der niedrigsten Potenz von y*""" — »i in der Ent- 

 wickelung der Constanten in {5) nach Potenzen von y""'* — >) als Cri- 

 terien dafür, ob y"~'* =: »5 ein Integral ist oder nicht, gelangt, die 

 wiederum in Übereinstimmung mit den betreffenden Criterien im ersten 

 Abschnitt übereinstimmend gefunden wurden. Daraus rechtfertigt sich 

 einerseits die im ersten Abschnitt gewählte Bezeichnung von ?/*"""'' =: ») 

 als singulare Lösung, falls der Exponent der niedrigsten Potenz von 

 X — x^ in der Entwickelung von ?/*"""' — v\ nach Potenzen von x — x^ 

 grösser als Eins ist, andererseits erhellt, dass die Discriminantenglei- 

 chungen A ^ o und D = o die singulären Lösungen zu gemeinschaft- 

 lichen Wurzeln haben müssen. Während aber eine Bedingung dafür 

 zu erfüllen ist, dass die Wurzeln von A =: o die Differentialgleichung 

 als erste Integi-ale befriedigen, ist umgekehrt mindestens eine Bedin- 

 gung erforderlich , damit keine Wurzel von D = ein erstes Integral 

 der Differentialgleichung sei. 



Geht man von der vollständigen Lösung der Differentialgleichung 

 (i) mit ?i willkürlichen Constanten 



aus und bezeichnet die aus ihr durch y,- malige totale Differentiation 

 nach X hervorgehende Gleichung mit 



— ^^ -^^ ~ = o 



daf 



„ d-^ ^ d''~'4/ 



1 T TA . -^ ■ S'^' dx, dx"~' . ^ 

 unil tlie Detei-mmante > zh ^^r-—- „ . . . — ^- mit L, so erhalt man 



■■^ dC, 063 c)C„ 



die Gleichung D(x 1/ >/'... i/^"~'^) = o, die die singulären Lösungen, 

 falls sie existiren, enthält, auch durch Elimination der n Constanten 

 C aus den n + 1 Gleichungen 



, d-4y d"~'-4y 



\p = o, — - = o, ... , ,_, ^ o, Z = o. 

 dx dx 



