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Bemerkungen zur Theorie der associirten 

 Differentialgleichungen. 



Von L. Fuchs. 



Uas Folgende enthält einen Auszug aus weiteren Untersuchungen über 

 die mit einer linearen, homogenen J)ifferentialgleichung 2?i'" Ordnung 

 (A) verbundenen Associirten n''" Ordnung (H), deren Theorie ich in 

 den Sitzungsberichten 1888, S. i i i 5 ff. eingeleitet und in späteren Mit- 

 theilungen daselbst fortgesetzt habe. Es wird die Frage, wann die 

 associirte Differentialgleichung reductibel sei , welche wir bereits für den 

 Fall erledigt hatten, wo es sich um die Differentialgleichungen der 

 Periodicitätsmoduln der AsEL'schen Integrale handelt', für den allge- 

 meinen Fall wieder aufgenommen, indem wir die nothwendigen und 

 hinreichenden Bedingungen für die Reductibilität zur Darstellung brin- 

 gen. Das hier eingeschlagene Verfahren giebt zugleich über die Art, 

 wie die Reductibilität sich bewerkstelligt, Aufschluss. Hieran schliesst 

 sich der Nachweis, dass die Bedingungen der Reductibilität für den 

 Fall erfüllt sind, dass die Adjungirte der Differentialgleichung 2n*^''' 

 Ordnung mit dieser zu ein und derselben Classe gehört. 



Endlich wird der Satz, welchen ich an der bereits erwähnten 

 Stelle" aufgestellt und mit Hülfe einer gewissen quadratischen Form Z 

 bewiesen hatte, dass die Lösungen der Associirten (H), durch die Qua- 

 dratwurzel der Hauptdeterminante der Differentialgleichung (A) dividirt, 

 einer Differentialgleichung (H ') genügen, die mit ihrer Adjungirtcn zu 

 derselben Classe gehört, durch ein neues Verfahren begründet, welches 

 den Vorzug hat, in die Natur der Coefficienten des Differentialaus- 

 druckes, durch welchen die Lösungen von (H') mit denen ihrer Ad- 

 jungirten zusammenhängen, einen tieferen Einblick zu gewähren. Wir 

 haben zwar im Folgenden in den Entwickelungen uns auf die Betrach- 

 tung des Falles, wo n = 2 ist, beschränkt. Es ist jedoch sichtbar, 

 dass der allgemeine Fall keine Modification der Methode erfordert. 



' Vergl. Sitzungsbericlite 1889, 8.713(7.. und 1898, S.477ff. 

 " Sitzungsberichte 1888, S. 1 1 1 5 ft'. 



