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1. 



Sei 



( A) //'* + }), //'* + ;j,//'' + /^3.'/'+ 'p,y = o 



eine Difl'erentialgleichung mit rationalen Coefficienten der unabhängigen 

 Variablen x, deren Lösungen sich überall bestimmt verhalten. 



Sei y^,y^,y^, y^ ein Fundamentalsystem von Lösungen der Glei- 

 chung (A), und werde gesetzt 



( y.y.'— y=y.' = w, , y.y[—y^y'^ = u, , 



1 1 ) \y~y'i — y,y'^ = «. > y^y', — y. y'^ = "s ^ 



( .y..'/! — .'/4,'/.' = ", • y^y', — y^y'^ = '4 , 



so genügen diese sechs Functionen einer linearen, homogenen Differen- 

 tialgleichung sechster Ordnung': 



(B) ?/'*' + P, w<'' + P, w<^> + P, ?/'» + P, w'^' + P, u'+ P,u = o. 



Die Lösungen derselben verzweigen sich in denselben singulären 

 Punkten wie die Lösungen von (A) und verhalten sich ebenfalls überall 

 bestimmt. 



Es soll festgestellt werden, unter welchen Umständen die Diffe- 

 rentialgleichung (B) reductibel wird. 



Hierzu mache ich von einem Satze Gebrauch , welchen ich in 

 den Sitzungsberichten"' gegeben habe, dass eine Glasse von linearen, 

 homogenen Differentialgleichungen im Allgemeinen /»'''' Ordnung, in 

 welcher sich eine reductible befindet, auch solche vorhanden sind, 

 deren Ordnung kleiner ist als m. 



Soll also die Gleichung (B) reductibel sein, so giebt es rationale 

 Functionen B^, B,, . . . B^ von der Art, dass die Functionen 



(2) r, = B^u, + BX + BM^ + B^v^^ + B^v^^-\-B,iif 



[k=\.2 .. .6], 



einer linearen , houiogenen Gleichung genügen : 



(C) K, U, + KJ\+ ... + ä; U, = o, 



wo K, . K^ . . . Kf, constante Grössen bedeuten. 



Sei a ein bestimmter der singulären Punkte, in welcliem sich 

 die Lösungen von (A) und (B) verzweigen, r^,i\, i\, i\ die Wurzeln 

 der zu a gehörenden determinirenden Fundamentalgleichung von (A). 



Wir wollen der Einfachheit der Darstellung wegen voraussetzen 

 (die Resultate werden von dieser Voraussetzung nicht berührt), dass 



' Vergl. Sitzungsberichte 1888, 8. 11 18. 

 '■^ Vergl. Sitzungsbericlite 1888. S. 1276. 



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