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. (r,)=>^,(i2),r,, {r^=y^ji^ir, 



erfaliren. 



Soll al)er die Gleichung (B) reductibel worden, so muss nach vori- 

 ger Nummer [(C)] und den über die Grössen r^ gemachten Voraus- 

 setzungen zufolge : 



(F) K,(U.) + K,{Ue) = A\A'jr^ + IuU,\ 

 sein, wo A eine Constante bedeutet; d. h. 



l K,{i2l. + K,(3^), = o , KAi2), + R\(i^\ = o 

 (F') A^,(i2)3 + A',(34)3 = o, r,(i2)5 + Ä;(34), = o 



( Ä',(i 2), -H a;(34), = äa', , A',( 1 2), + ir,(34), = äa; . 



Die beiden letzten Gleichungen liefern zusammen die Bedingungs- 

 gleichung: 



(«) A; A;[(i 2), — (34)„| + A7(34), — A7{ I 2)6 = o . 



Sind umgekehrt die Bedingungsgleichungen (F') erfüllt, so folgt, 

 dass die Function: 



(G) cp = K,u, + K(,Uf, 

 nach dem Umlauf W übergeht in 



(G') (C/,) = A../,, 



wo ä' ebenfalls einen constanten Factor bedeutet. 



Sind die Bedingungsgleichungen (F) oder (F') für alle Umläufe 

 W der unabhängigen Varial)len erfüllt, so wird demnach die logaritli- 

 mische Ableitung der Fimction (p eine rationale Function sein. Damit 

 die Gleichung (F) für alle Umläufe erfüllt werde , ist aber nothwendig 

 und hinreichend, dass dieses für die um die einzelnen singulären Punkte 

 der Gleichung (A) vollzogenen Umläufe (die Fundamentalumläufe) ge- 

 schieht. 



Wir erhalten also die folgenden Sätze: 



I. Die nothwendige und hinreichende Bedingung dafür, 

 dass die Gleichung (B) reductibel werde, ist die, dass die 

 Beziehungen (F) oder (F') für alle Fundamentalumläufe der 

 unabhängigen Variablen besteht. 



II. Im Allgemeinen wird die Gleichung (B) in dem Sinne 

 reductibel, dass sie mit einer linearen, homogenen Diffe- 

 rentialgleichung erster Ordnung mit rationalen Coefficien- 

 ten ein Integral gemeinsam hat. 



