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Es liat demnach die Form 

 (15") (f> = u, + ''^^ u^ 



die Eigenschaft, nach dem Umlaufe W in 



(20) (c/)) = </. 



(12), 



Überzugehen. 



Aus diesen Gleichungen ergiebt sicli : 



IL Die Differentialgleicliung der zweiten Associirten 

 einer mit ihrer Adjungirten zu derselben Classe gehörigen 

 Gleichung vierter Ordnung ist reductibel.' 



In Übereinstimmung mit II voriger Nummer folgt aber ferner 

 aus Gleichung(2o) die Art, wie die Reductibilität sich herstellt, nämlich: 



III. Die zweite Associirte wird durch eine Function be- 

 friedigt, deren logarithmische Ableitung rational ist. 



4. 



Ich habe früher"' für die »'" Associirte einer Difi'erentialgleichung 

 271*" Ordnung 



(1) i/'"^+Pi!/""~'^+ ...p.„l/ = o, 

 nämlich 



(2) '«<■■' + P.it'"-" + . . . + I\n = o' 

 nachgewiesen, dass dieselbe zu ihrer Adjungirten: 



(3) ■»M + Q,t'<'-> + ... + Q„e7 = o 

 in der Beziehung steht, dass 



(4) u = H[A^c+A,v'+.. . +^(„_,,r'-''J 



ist, wo H die Hauptdeterminante von (i) und A„, A,, .. • ^(,._,) ratio- 

 nale Functionen von x bedeuten, oder, was dasselbe besagt, dass die 



Differentialgleichung für -1=- mit ihrer Adjungirten zu derselben Classe 



gehört. Ich habe daselbst* diesen Satz mit Hülfe einer aus der Function 

 i( und ihren Ableitungen gebildeten quadratischen Form bewiesen. Ich 



' Di&sen Satz hat mein Sohn Richard in einer demnächst zu veröffentlichenden 

 Arbeit auf einem anderen Wege bewiesen. 



=* Vergl. Sitzungsberichte 1888, S. iiiöff. 

 3 Vergh a. a. O. S.1118. Gleichung (H). 

 * Vergl. a.a.O. S. 1120 ff 



