I-Yiii.s: BenicrkuriKcii zur llicurie dci' ri.s.Sdciirtcn Diflereiilialglek-huiigeii. IDl 



will liier denselben Satz durch eine andere Methode herleiten, welche 

 den Vorzug hat, in die Beschnttenheit der Coefficienten A,, eine tiefere 

 Einsicht zu gewähren. Ich hesehränke mich dabei, ohne der Allgemein- 

 heit Al)bruch zu thun . auf den Fall, dass die Differentialgleichung (i) 

 von der vierten Ordnung ist. 



Es sei also y^, y^, y^, y^ ein Fundaiuental.sy.stem von Lösungen 

 der Gleichung: 



deren Integrale überall bestimmt sind. Es mögen dann u^,ti.^,u^, . . .Uf, 

 dieselbe Bedeutung haben, wie in Gleichung (i) Nr. i . 

 Wir wollen 



(H) w</->w<" + »1"//'/' — [v^iSif + «fwf ) + wf «f + m('»m<^> = P[k . I) 

 setzen. 



Für ein anderes Fundamentalsystem der Gleichung (r') *ii. »l^- »l,. »14 

 seien jp, , ii\ . . . Wf, ebenso aus v), . . . »1^ gebildet, wie u^. . .u^ aus y, . . . y^, 

 also 



(5) u\ = ri,Yi', — y}X,- ■■ "^6 = ■I3I4' — >14>13'. 

 Sei 



(6) % = <;.-,y, + <;.y, + (-..y, + (-^.4^4 , (i = i , 2 , 3 , 4) 

 so ergiebt sich aus bekannten Determinantensätzen : 



(J) P(k,l) = AQ(kJ.) 



wo 



(H') Q(k, l) = «■<^)/rl''+ ;r<''(r<*'— (w</'«f ' + «if '«f ) + («f »«f + w'{hof>) 

 lind A die Determinante der Grössen c^, also 



(7) -^ = |'</| 

 ist. 



Aus (J) erglebt sich zunächst: 



I. Es ist P(k, l) eine Invariante in Bezug auf die verschie- 

 denen Fundamentalsysteme y, , y^, y^, y^ der Gleichung (i*). 



Aus derselben Gleichung (J) schliessen wir ferner, —P{k, l) wird durch 



H 



keinen Umlauf der unabhängigen Variablen geändert, wenn Ä^die Haupt- 

 determinante zur Gleichung (i') ist. Da die Lösungen von (i'') über- 

 diess überall bestimmt sind, so erhalten wir den Satz: 



IL <i.,M) = I^P{k.l) 



ist eine rationale Function von x. 



