FuiHs: Bemerkungen zur Tlieorie der iissociirten Diiferentialgleicliunsjen. 19S 



Für /i + /<4 muss also zufolge der Gleichung (lo) 0/.;(.r) für a: = n 

 mindestens von der (4 — Ji — 1?)'°" Ordnung verschwinden. 



Ist also 0" die Anzahl der im Endlichen gelegenen singulären 

 Punkte der Gleichung (r'), so würde (pjii(x) eine ganze, rationale 

 Function mindestens cr(4 — /.• — /)'^" Grades sein. Nach Gleichung ( 10') 

 aber ist dieser Grad nicht höher als 4 — k — L 



III. Ist also die Anzahl er der im Endlichen gelegenen 

 singulären Punkte der Gleichung (i") grösser als i, so ist 

 (f>/,t{x), für Z:+/<4, identisch Null. 



Für ^■+/=4 ist nach Gleichung (10) <p/ii(x) in keinem der im 

 Endlichen gelegenen Punkte unendlich, aber nach (lo") auch im Un- 

 endlichen nicht, es folgt also: 



IV. Für ^-|-/=4 ist </)x((-i') eine Constante 7/,.,. 



Aus der Difierentialgleichung (H) für P(k,I) ergiebt .sich 

 (K) DP(k./) = P{k+i,/) + P(kJ+i), 



wo D den Difterentialquotienten nach x bedeutet. 

 (L) P(l,k) = P(k,l). 



Nach Satz III ist nun 



i P(o , o) = o , P(o , I ) = o , P(o , 2) = o , P(o3) = o , 

 (II) P(ii) = o, P(i2) = o, P(o,4) = 7o4^, 

 {P{ii) = y.Jl, P{22) = y._,H. 



Nach (K) ist 



o=:7^P(03) = P(i3) + P(04), 

 also 



(a) P(i3)=:-P(04). 



Aus 



O = Z)P(I2) = P(22)+ P(I3) 



ergiebt sich 



(^) P(2 2) = P(04). 



Ferner ist 



(7) o = i»^P(03) = P(23)+2P(i4) + P(o5). 



Durch Differenzirung von {ß) erhalten wir 

 (^) 2P(23) = P{i4) + P(o5). 



Aus (7) und {^) folgt 



(6) P(l4) = -Ap(o5); P(23)= -P(o5). 



