Froüenius: IMht die < 'mupositiüii der Cliaraktcre einer Grupix;. 3H1 



/und /" die Matrix (B) des Grades //", und aus (c) und {(;') die Matrix (C). 

 Ist dann (c) = (rO(^>) und (c') = (a'){b'), so ist auch (C) = (A)(5), wie 

 ans der oben angegebenen Entstehung von (A) aus (a) und («') un- 

 mittelbar ersieh tUch ist. 



Seien $^ (1/ ^ 0, \--k—l) die k Primfactoren der Determinante der 

 Gruppe <ö) und x'"* ilire Charaktere. Den Elementen A ,B,C, ■■■ von § 

 mögen in der primitiven Darstellung von i5 durch lineare Substitutionen, 

 die zu *„ gehört, die Matrizen {a),{b),{c), ■■■ entsprechen, in der zu 4»^ 

 gehörigen Darstellung die Matrizen {a ),(//), (c' ) , • • • . Ist dann AB = C, 

 so i.st {a){h) = (e) und (a )(b') = [r.' ) und mithin auch {A){B)=^{C). 

 Folglich ist {A)x^ + (B)Xji + (C)Xr-\ eine zur Gruppe ö gehörige Ma- 

 trix, und ihre Determinante ist 



(I.) n */"'". 



wo f\,,^ eine positive ganze Zahl oder Niül ist, und mit *„. die zu *^ 

 conjugirte complexe Primfunction bezeichnet werden soll. 



Da die Spur von (a) gleich x^'HA), die von (a) gleich yJ^'HA) ist, 

 so ist die von {A) gleich yJ''HA)xl-'''(A). Aus der Formel (i.) erhält 

 man aber für diese Spur den Ausdruck 



oder auch, weil // zugleich mit |U die Werthe 0, 1 , • • • A'— 1 durchläuft, 



(2.) x<''>(ß)xW(ß) = ^U' x'->(/?)^ xj->x<;' = ^U' x<">- 



Diese Formel enthält die Regeln, nach denen die Co?iip()sifion der 

 Charaktere erfolgt. Setzt man 



(:;.) h/:, = 2x'"'(ß)x'"'>(«) = /'• /'A = SxW(« )x'^>(ß) = 



R R 



(wo A von x' verschieden ist), so ergiebt sich mit Hülfe dieser Rela- 

 tionen 



(4.) /,,/:.„ = ix*-HÄ)x">(Ä)x<"HÄ). 



oder, wenn p die k Classen conjugirter Elemente durchläuft, 



(5-) /'A« = 2/^x<"'xf>x';'>- 



Mithin bleibt /,>„ bei allen Vertauschungen der Indices ungeändert, 

 und da 7?"' zugleich mit R die h Elemente von § durchläuft, so ist 



(6.) Uw=Uu. 



Dass die rechte Seite der Gleichung (4 ) eine ganze Zahl ist, kann 

 man leicht direct erkennen. Denn diese Summe ist eine ganze ganz- 

 zahlige Function einer primitiven A*"' Eiidieitswurzel &, und sie bleibt 

 ungeändert, wenn man & durch irgend eine conjugirte Grösse &" er- 



