332 Sitzung der jiliysikaliscli-inatlieinatischen Classe vom (j. April. 



setzt, wo n zu h tlieilerfremd ist. Denn um die Substitutiou von S- 

 durch S-" auszuführen, braucht man nur in jedem Ghede der Summe 

 R durch R' zu ersetzen {Primfactoren, § 12). Dabei bleibt die Summe 

 ungeändert, weil R' zugleich mit R die h Elemente von § durchläuft. 

 Auf diesem Wege erkennt man aber nicht, dass jene ganze Zahl positiv, 

 und auch nicht, dass sie durch h theilbar ist. 



Da yJ'^E) =;/, = /^ der Grad von *„ ist, so folgt aus (2.) 



(7.) ./■.A = i ./;,,„./;. 



Mithin ist 

 (8.) ^''•"' = '^' 



wo man für/, die grösste der drei Zahlen /„./>, /„ nehmen kann, und 



Setzt man 



(9.) 2A../;„., =,/...., 



so ist 



/,,y.,„, = - x''''(Ä)x<'->(fi)x'"'('^')x«(-^)(2x'*nÄ)x<*'(«))- 



Nun ist aber 



2x<-''(«)x<«'(S) = 0, 



ausser Avenn S mit R conjugirt ist, dann aber gleicli ^. Ist R ge- 



geben, so tritt der letzte Fall für hji verschiedene Werthe von S ein, 

 für die %{S) = %{R) ist. Folglich ist 



(10.) hU. = :S x'"HÄ)x'^'(ß)x<"'(R)x<'^'(/?)- 



R 



Auch diese Zahl bleibt demnach bei jeder Vertauschung der Indices 

 ungeändert, was aus der Formel (9.) nicht ersichtlich ist. In ähnlicher 

 Art ist das Zeichen /,,.„... für beliebig viele Indices zu erklären, aber 

 nicht für nur einen Index, wo/ den Grad von *^ bedeutet. Wie schon 

 oben bemerkt, ist /^. = 1 und /^ = Ü, falls %^ und %^ nicht inverse 

 Charaktere sind. Ferner ist /.,„ =/,, /,„„ =/,^. 



Ist %, ein Charakter ersten Grades , also / = ] , so ist f^,^ nach 



(8.) nicht grösser als ~ oder'-?, also gleich Null. Nur wenn fx—f^ 



ist, kann /^.^ = 1 sein. Nach {7.) ist / = v /„>... f^^ und folglich mu.ss 

 der letzte Fall bei gegebenei^i A für einen aber auch nur einen Werth 

 von fj. eintreten. Ist also / = 1 , so ist für jeden Werth von A von 

 den k Zahlen /,^ die eine gleich 1, die anderen ^-1 sind Null; und 

 ist /^^ = 1 , so ist / = /;.. Das Product aus einem Charakter /'™ Gra- 

 des %*^'(-R) u"d einem Charakter ersten Grades %'''*(i2) ist also ein Charak- 

 ter/'™ Grades y}"-\R) = y}''\R)y}^\R) , wie ich auf einem anderen Wege 



