Frohemcs: I'Iiim- die, Coiiiposition der Cliaraktere einer Gruppe. BB") 



iif unabhängige Variabele sind. Die K 1 = y Determinanten //'" (ira- 



des, die sich aus ihnen bilden lassen, bezeichne man in irgend einer 

 Reihenfolge mit ?7, , CT, , ■ • • U^ , die aus den Variabclen 



analog gebildeten Determinanten mit V^, V.,,-- V^. Nach den Glei- 

 chungen (5 .) sind dann U^,U^, ■■■ U^ lineare Functionen von F, , F, , • • • V^, 

 deren Coefficienten die ff Unterdeterminanten ?z"" Grades der Matrix 

 a„;} sind. Die so erhaltene lineare Substitution möge jetzt mit [A) 

 bezeichnet werden. Die Wurzeln ihrer charakteristischen Gleichung 

 sind die Producte von je n der Wurzeln c4, , a^, ■■ ■ a^-, ihre Spur i.st 

 die Summe der Hauptunterdeterminanten /z'™ Grades der Matrix 

 («), also gleich dem Ausdruck S-„ (^4). Entsprechen in dersel1)en 

 Weise den Matrizen/'™ Grades [h), {c) , ■■■ die Matrizen 5^'™ Grades 

 {B), (C), ••• , .so ist, ialls [r] = (a.)(b) ist, auch (C) = {Ä){B). Folglich 

 ist {Ä)Xj^ + (B)Xß + [C)xc+ ■ ■■ eine zu § gehörige Matrix. Diese ist 

 auch von Molien, Ueber die Invariantfin der linearen Subsütutlonsgrup'pen, 

 § 5 (Sitzungsberichte 1897) betrachtet worden. Ihre Determinante ist 

 ein Ausdruck von der Form n*^"^^ woraus sich die Relation (4.) er- 

 giebt. Ferner sind die Wurzeln der Gleichung 



n(FL'''(«)y""= 



vom Grade (■ 1 die Producte von je n der /'„ Wurzein a,, ol.^, ■ ■ ■ der 



Gleichung F^'\u) = 0. 



Die Ausdrücke (4.) haben die Form 



(6.) •2^..(Ä) = xiRT-xim^ 6^3(/?) = x(/<'f-3x(/?)x(Ä^) + -^Xim^ 



allgemein 



'(, ^ . (^^ _ .._n....... XW: XW X(^^ X(^ ... 



(7.) ^„(-n) ( 1) ^^^, .^,p, gy^, ^j,^, , 



wo die Summe über alle positiven Lösungen der Gleichung 



(8.) a + 2ß + 3y+4ä+ ••• = " 



zu erstrecken ist. 



Wie Molien a. a. 0. § 2 gezeigt hat, gilt eine der Formel (4.) 

 analoge Formel für den Coefficienten i^„(i?) von m~'"" in der Ent- 



wickelnng der Function ^v >,;• Dieser i.st gleich der Summe 



f i^W (u) - 



ir. ^ ^fR^- - x(^ 2<Ö xlÄT' xffi 

 19-) -"^(^i l„„i .2ßß! 3^y! 4*5! 



erstreckt über die positiven Lösungen der Gleichung (8). 



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