33(5 Sitzung der physikalisch -mathematischen Classe vom (i. April. 



§3- 



Zum Schluss theile ich noch einige Beispiele von Grupjien mit, 

 deren Cliaraktere ich mit Hülfe der Methoden berechnet habe, die 

 ich hier und in meiner letzten Arbeit entwickelt habe. 



Die Elemente der symmetrischen Gruppe des Grades n = 6 sind 

 die 720 Permutationen von 6 Symbolen a , b , c , d , e , f. die der alter- 

 nirenden Gruppe die 360 geraden Permutationen. In der ersten Spalte 

 der beifolgenden Taltelle ist jede Classe conjugirter Elemente dvu'ch 

 eine in ihre Cyklen zerlegte Permutation repraesentirt. Durch Com- 

 position mit dem Charakter ersten Grades x'^' entstehen aus den Charak- 

 teren %<^\ %<*', x*"', %**' die Charaktere y}^\ %<'', x"', x*"': während 

 x''"' ungeändert bleibt. Besonders bemerkenswerth ist der Charakter 

 •y^ = x*^'. Wenn A Symbole von der Permutation R nicht versetzt werden 

 (wenn R X Cyklen ersten Grades enthält), so ist %{R) = A — 1. 



Nach den Entwicklungen meiner letzten Arbeit (§ 5) kann man 

 die Regel, nach der %. zu berechnen ist, auch so ausdrücken: Die 

 Permutationen von §, die ein bestimmtes Symbol ungeändert lassen, 



bilden eine Gruppe ® des Grades g ^ — . Enthält die p'" Classe h, Ele- 

 mente, und sind davon y in ® enthalten, so ist 



Aus derselben Formel findet man den Charakter x'^ indem man 

 für ® die in § enthaltene Gruppe der Ordnung g =72 nimmt. Diese 

 imprimitive Gruppe erhält man , indem man die n = 6 Symbole in 

 s = 2 Systeme von je r ^ :> Symbolen theilt, abc, def, und dann die 

 i<t Systeme und die r Symbole jedes Systems auf alle möglichen Arten 

 permutirt. Die Ordnung dieser Gruppe ist 5^ = (r!)'.<f! = (3!)'2! ^ 72. 



Endlich kann man mittelst der Formel ( i .) auch den Charakter x**' 

 berechnen, indem man für ® die dreifach transitive Gruppe der Ord- 

 nung 120 nimmt, die der symmetrischen Gruppe des Grades 5 isomorph 

 ist. Statt dessen kann man x**' ^us x*''* durch den bekannten Isomor- 

 phismus von § in sich ableiten, wodurch sich die Classen 1 und 7, 

 4 und 10, 5 und 9 unter einander vertauschen, während die übrigen 

 ungeändert bleiben. Durch diesen Isomorphismus geht auch x'** i" 

 yj») = x*''%*" Über. 



§4- 

 Die binären Gruppen des Tetraeders, Oktaeders und Ikosaeders 

 haben die Ordnungen A = 24, 48 und 120. Die Classen sind meist 

 schon dvirch die Ordnungen ihrer Priemen te bestimmt, die sich in der 



