338 Sitzunji' der physikaliseli- mathematischen Classe vom 6. April. 



ersten Spalte jeder Tabelle finden. Nur wo die Ordnung zur Defi- 

 nition der Classe nicht ausreicht, findet sich in jener Spalte ein Ele- 

 ment der Classe, und zwar bedeutet in der Gruppe des Tetraeders 

 (Oktaeders, Ikosaeders) das Zeichen R [S, T) ein beliebiges Element 

 der Ordnung 6 (8, 10). Die Classe (4) der Oktaedergruppe enthält jedes 

 Element der Ordnung 4, das sich nicht als Quadrat eines Elementes 

 der Ordnung 8 darstellen lässt; die übrigen Elemente der Ordnung 4 

 bilden die durch das Zeichen <S' charakterisirte Classe (5). 



Jede der drei Gruppen enthält eine invariante Untergruppe 

 ^=:E + F der Ordnung 2. Das Element F der Ordnung 2 ist mit 

 jedem Elemente der Gruppe vertauschbar und bildet für sich allein 



die Classe (1). Die Gruppe -^ ist die Gruppe der Ordnung 12 (24,60), 



deren Charaktere ich Gruppencharaldere , § 8 berechnet habe. Aus diesen 

 Tabellen kann man unmittelbar die Werthe der Charaktere entnehmen, 



wofür %o = %i ist. und die zur Gruppe '- gehören. Für- diese Charak- 







tere ist allgemein %(RF) = x,(R). füi- alle anderen aber %(RF) = — ^(Ä). 



Die interessanteste Eigenschaft dieser Gruppen besteht darin, dass 



sie eigentliche Charaktere zweiten Grades besitzen. (In der Tabelle 



für die Oktaedergruppe, Gruppencharaktere , § 8, gehört der Charakter 



X*^* des Grades /= 2 zur Gruppe ^I , wo ® die invariante Unter- 

 gruppe der Ordnung 4 von § ist). Ihre Werthe ergeben sich sofort 

 aus den bekannten Darstellungen dieser Gruppen durch binäre lineare 

 Substitutionen mit Hülfe der Formel Darstellung, § 4 (5). Für die 

 Oktaedergruppe giebt es genau zwei nicht aequivalente Darstellungen 

 dieser Art, die sich aber nur durch das Vorzeichen von |/2 unter- 

 scheiden (denn der Charakter %**' gehört zur Gruppe -'-). 



ü 

 Dasselbe gilt von der Ikosaedergruppe. Für die Tetraedergruppe 



aber giebt es drei nicht aequivalente Darstellungen. Ihre Charaktere 

 %***, y}'"'' und %*"' ergeben sich aus einem von ihnen durch Compo- 

 sition mit den drei Charakteren ersten Grades. Auf diese Weise findet 

 man die Charaktere dieser drei Gruppen alle ohne Benutzung der 

 Zahlen h^^. Denn die noch fehlenden Charaktere %''' der Oktaeder- 

 gruppe und %*'' und %*^* der Ikosaedergruppe ergeben sich aus den 

 zwischen den Charakteren bestehenden quadratischen Relationen. 



