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Über die Darstellung der endlichen Gruppen 

 durch lineare Substitutionen. IL 



Von G. Frobenius. 



Ueii h verschiedenen Elementen Ä, B , C, ■•■ einer endlichen Gruppe ö 

 seien h homogene lineare Substitutionen a , b , c , ■■■ von n Variabelen 

 so zugeordnet, dass immer, wenn AB = C ist, auch ab = c ist. Dann 

 bilden diese Substitutionen eine Gruppe, die mit § holoedrisch oder 

 nieroedrisch isomorph ist, oder, anders ausgedrückt, die Substitutionen 

 bilden eine Darstellung der Gruppe iö- Unter den Zeichen a,b,c, ■■• 

 kann man auch die Matrizen der Substitutionen verstehen, unter ab 

 die aus a und b zusammengesetzte Matrix. 



Aus der gegebenen Darstellung kann man eine neue ableiten, 

 indem man in den Substitutionen andere Variabele einführt. Dies Ver- 

 fahren kommt darauf hinaus, dass man die Matrizen a,b,c, ■•■ durch 

 p'^ap , p~^bp , jr^cp , •■■ ersetzt, wo p eine beliebige Matrix von nicht 

 verschwindender Determinante ist. Zwei solche Darstellungen habe 

 ich in dem ersten Theile dieser Arbeit (Sitzungsberichte 1897, im Fol- 

 genden mit D. citirt, § 2 ) als aequwale?it bezeichnet. 



Kennt man für dieselbe Gruppe i3 <?ine zweite Darstellung durch 

 die Matrizen a'.b'.c ■■■ des Grades n . so bilden die Matrizen 



(ö").( 



b 

 // 



eine neue Darstellung des Grades n + n'. Dabei ist auch der Fall 

 nicht ausgeschlossen, dass die zweite Darstellung mit der ersten iden- 

 tisch oder aequivalent ist. In der nämlichen Weise kann man aus 

 mehreren bekannten, gleichen oder verschiedenen Darstellungen eine 

 neue ableiten. Diese Gruppe von Substitutionen kann unter Umstän- 

 den der Gruj^pe ö holoedrisch isomorph sein, trotzdem die gegebenen 

 Darstellungen ihr nur nieroedrisch isomorph waren; und dies ist der 

 Grund, weshalb bei der Untersuchung aller Darstellungen einer ge- 

 gel)enen Gruppe 5 auch die nicht ausgeschlossen werden dürfen, die 

 in Wirklichkeit eine mit .'ö nieroedrisch isomorphe Gruppe darstellen. 



