Frobenus: Daistelluiig der Giiijjpen diircli lineare Substitutionen. II. 483 



Jede Darstellung, die in der oben erörterten Art aus mehreren 

 erhalten wird, nenne ich eine zerfallende oder zerleybare, und jede Dar- 

 stellung, die einer zerfallenden aequivalent ist, eine imprimitive oder re- 

 ducibele. Ist eine Darstellung aber keiner zerlegbaren aequivalent, so 

 nenne ich sie eine primitive oder irreducibele (vergl. die frühere vor- 

 läutige Definition D. § 5). 



Betrachtet man acquivalente Darstellungen nicht als verschieden, 

 so giebt es nur eine endliche Anzahl verschiedener primitiver Dar- 

 stellungen einer Gruppe .»ö durch lineare Substitutionen oder ihre Ma- 

 trizen. Diese Zahl k ist gleich der Anzahl der Classen conjugirter 

 Elemente, worin die Elemente von JÖ zerfallen. Jede imprimitive Dar- 

 stellung ist einer anderen aequivalent, die in lauter primitive Darstel- 

 lungen zerfällt, wobei aber jede einzelne der k primitiven Darstellun- 

 gen mehrfach auftreten kann. Und zwar ist eine solche Zerlegung 

 nur in einer Art möglich. 



Seien x.^, Xg, x^, ■ ■ ■ h vniabhängige Variabele, und sei 

 = I a:^^_, I = <|/$'-^'tt"-^" . . . 



die Determinante der Gruppe §, und $,*',*",■•• ihre verschiede- 

 nen Primfactoren. Bilden die Matrizen «'""Grades a,b,c,--- eine 

 Darstellung von ö; so nenne ich (D. § 2) die Matrix n'"" Grades 

 ax^ + bxs + exc+ ■■■ die der Darstellung von jr» entsprechende 

 Matrix oder eine zur Gruppe § gehörige Matrix. Ihre rf Ele- 

 mente sind lineare Functionen der //, Variabelen x^,Xß,Xc, •••, ihre 

 Determinante 



I ax^ + iix^ + cx^, + • • • I = *'*'* $"" • • • 



ist ein Product von Primfactoren der Gruppendeterminante. Umge- 

 kehrt entspricht jedem solchen Producte eine und nur eine Darstellung 

 von 5, d.h. zwei Darstellungen, deren entsprechende Matrizen gleiche 

 Determinanten haben, sind aequivalent. Einem jeden der k Prim- 

 factoren * der Gruppendeterminante entspricht eine der k primi- 

 tiven Darstellungen, die ich mit [4>] bezeichnen will. Einem Producte 

 $*$'»'... entspricht eine Darstellung, die in .s Darstellungen [$], /Dar- 

 stellungen [$'] , • ■ ■ zerfällt. Durch die Untersuchung der Determinante 

 der Matrix, die einer gegebenen Darstellung entspricht, kann man 

 daher erkennen, ob die Darstellung eine primitive ist oder nicht, und 

 im letztei'en Falle, in welche primitive Darstellungen sie zerlegt wer- 

 den kann. 



Die hier entwickelten durch ihre Einfachheit ausgezeichneten Re- 

 sultate bilden den Abschluss meiner allgemeinen Untersuchungen über 

 die Gruppendeterminante. Auf einem anderen Wege hat sie Molien 

 in der -D. § 4 citirten Arbeit erhalten. 



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