484 Sitzung der physikalisch -mathematischen Classe vom I.Juni. 



Zum Schluss gehe ich auf die Herstellung der primitiven Dar- 

 stellungen näher ein. Um eine solche zu erhalten, braucht man nur 

 eine Lösung eines gewissen Systems von linearen und quadratischen 

 Gleichungen zu berechnen. Jede solche Lösung nenne ich daher ein 

 die Darstellung determinirendes Werthsvstem. 



§1. 

 In der Matrix /"° Grades ii seien die Elemente 



M„3 («.p = 1.2, .../) 



/' von einander unabhängige Variabele. Seien v^g /" andere Variabele, 

 und sei 



Geht dann die Matrix u in v oder ic über, falls man »„^ durch r„s 

 oder w„i ersetzt, so ist iv = ui\ 



Die n' Elemente a\; der Matrix ;*"" Grades X seien lineare Func- 

 tionen der p Variabelen «„3. Sie gehe in Y oder Z über, wenn man 

 u„2 durch Z7„ä oder w^;: ersetzt. Wir wollen untei'suchen , wie jene 

 linearen Functionen beschaffen .sein müssen, damit Z = XY sei, wenn 

 w =^ UV ist. Ich beschränke mich dabei auf den Fall, wo die Deter- 

 minante |A'| von Null verschieden ist. 



Hat X jene Eigenschaft, so hat sie auch PXP~^, wo P eine Matrix 

 von n' Constanten Elementen und |P| von Null verschieden ist. Ist 

 ferner die Matrix f"° Grades, deren Elemente sämmtlich verschwin- 

 den, und ist n ^ fg ein Vielfaches von /. so hat 



M 



_ u 



~ Q u 



die verlangte Eigenschaft, und ebenso P~'UP = X. Ich will nun um- 

 gekehrt zeigen: Ist X eine beliebige Matrix der betrachteten Art, so 

 muss n = fff ein Vielfaches von / sein, und man kann eine constante 

 Matrix P so bestimmen, dass PXP^ = U wird. 



Ist B die Hauptmatrix des Grades g, so kann man die Matrix U 

 des Grades fg durch eine gewisse Umstellung der Zeilen und die 

 gleiche Umstellung der Spalten auf die Form 



l'nB XioB ■■■ HyB 



II,, B u,.B •■• u,rB 



' 



T 



UfiB UfiB ■■■ iif/B 



bringen. Die Umstellung der Spalten erfolgt durch Composition von 

 U mit einer Matrix Q, bei der in jeder Zeile und in jeder Spalte 



J 



