Frohenii-s: Darstplliiiig der Grupprn (liin-li liiicaro Sul)Stitiitioni'ii. II. 485 



ein Element gleich 1, die anderen gleich sind. Führt man dann in 

 UQ die nämliche Umstellung der Zeilen aus, so erhält man Q'UQ, 

 wo Q' die zu Q conjugirte Matrix ist. Da aber Q eine orthogonale 

 Matrix ist, so ist Q' = Q-', also V = Q'TQ. 



Da die Elemente der Matrix X lineare Functionen von iii^ , ?i,2 , 

 ••• , '>i,y sind, so kann man X = XA„gU„ß setzen, wo A„i eine constante 

 Matrix )i"' Grades ist. Nun soll XY = Z sein , also 



Daher ist A^^A,^^ = 0, wenn ,S von 7 verschieden ist, dagegen A^i^A^^ 

 = A^y. Da ^4^1 = .4,1 ist, so ist 



\An + rE\ = »•--.'/, (1 + ;•)•",. 



"Wäre $'1 = 0, so wäre ^4„ = 0, also auch ^„,j := A^-^Ai^A^^, = 0. Da- 

 her ist ,'7i>0, und man kann P so bestimmen, dass P'^A^^P eine 

 Matrix wird, worin r^,, = •••(;■,, ^ =1, alle anderen Elemente gleich 

 Null sind. Wir denken uns X durch P'^XP ersetzt, nehmen also an, 

 dass .4,1 selb.st jene Matrix ist. Nun ist ^hA,, = -^4„2^4,, = 0, und 

 mithin sind in A^., die Elemente der ersten g^ Zeilen und Spalten 

 sämmtlich Null, so dass man A^_^ auch als eine Matrix des Grades 

 n— (/, betrachten und als solche transformiren kann. Folglich lässt sich 

 eine Matrix «'" Grades P, worin die Elemente der ersten ,9, Zeilen 

 und Spalten mit den entsprechenden von ^4,, übereinstimmen, so be- 

 stimmen, dass in P'^A^.,P 0^ +,,y +1 = ■•• = f;^_+y,,_+^^ = 1 wird, alle 

 anderen Elemente aber verschwinden. Dann sind in il,, = ^4,iJ^i,^2j 

 nur die Elemente nicht nothw endig Null, welche die Zeilen 1,2, ■■■ g^ 

 mit den Spalten ^r, + 1 , r/, + 2, ■■■ g^+g^ gemeinsam haben. Nach Aus- 

 führung dieser Transformationen ist 



Bn ^\i Nn ••■ ^u ^12 iVu 



N.i i\;o Nr, ■■■ A — X,, N,^ X,, 



■^31 -^32 .^^33 ■■■ ■''Sl -''32 ■'^ 3:! 



wo i?,,3 eine Matrix von 7„ Zeilen und gi Spalten ist, und i\"„j eine 

 Matrix derselben Art mit lauter verschwindenden Elementen. ß„„ ist 

 die Hauptmatrix des Grades </„. Aus ^4„3..4:„, = A^^ folgt B^o^B^^ = B^^. 

 So ist B^„B,^ = i?,,. Wäre daher g2<gi, so müsste die Determinante 

 von i?ii verschwinden. Ebenso folgt aus B.^B^^ = 5,,, dass g^^g^ ist. 

 Mithin ist g^ = g., = g, = ■■■ = g, und n = fg- Denn wäre n>fg, 

 so beständen die letzten Zeilen und Spalten von X aus lauter Nullen. 

 Ist B die Hauptmatrix des Grades g, so ist i?„„ = B und B^iB;^^ = B. 

 Folglich sind B„i und B.^ reciproke Matrizen des Grades g, und ihre 



