Frobenius: Darstellung der Grii|)[)cn ilurcli liiie.-ire .Snhstitutioiieii. II. 4S7 

 ist, SO ist Ä(B, C, •••) mit jeder Matrix A' vertauschbar. Weil endlich 



{x'(ß)+{^'(Ä)+--- = s„ 



ist, wenn die Snmme über alle k Charaktere von ^ erstreckt wird, 

 so ist 



(3-) A + B + C+--- = E. 



Mithin ist 



{E+uAX){E+uBX) (E+ uCX) ■■■ = E + u{A + B+C+---)X = E+uX. 



Alle anderen Glieder in der Entwicklung des symbolischen Productes 

 nach Potenzen von u verschwinden , weil AXBX = ABXX = ist. 

 Folglich ist auch 



(4.) \E+ »AX \ \E+ uBX I • • • = I £ + «A |. 



Diese Determinante aber ist, Aveil A' eine zur Gruppe Ö gehörige Matrix 

 ist, ein Product von Potenzen der Primfunctionen # (£ + iix) ,^' (s + ux) , • • . 

 Daher ist auch 



I E + uAX I = #(£ + uxy *'(£ + ux)' ■■■ . 



Es muss aber ^=0 sein. Denn setzt man Xji = ■-^^'(R), also A = B, 



so wird ^4A = AB ^= 0, also die Determinante links gleich 1. Rechts 



aber ist «»'(e + ^-J/') = (1 +«/'. Folglich ist 



(5.) \E+uAX\ = *(e + ((x)% \E+uBX\ = 4>'{t + uxy', ■•• 



und mithin nach (4.) 



(6.) I A| = *(a;)' *'(;»)»' •■-, 



und 



«=./■*+/'«' + •■•• 



Setzt man in der Gleichung (5.) x,i^~yJ{R), also X =^ A, so 

 erhält man 



(7.) \E + uA\ = {1 + >()/% I ,iE-A I = (m-1)/»m"-A 



Da ^4." =: A ist, so sind die Elementartheiler dieser Determinante alle 

 linear. Mithin ist der Rang von ^1 gleich r = fs, und die Haupt- 

 unterdeterminanten ?•"" Grades von A sind nicht alle Null, da ihre 

 Summe gleich 1 ist. Ist s = 0, so ist r = und folglich A = 0. 

 In der Summe (3.) kommen daher nur die Matrizen A,B ,C,-- wirk- 

 lieh vor, welche aus den Charakteren 7, solcher Primfunctionen $ ge- 

 bildet sind, die in |A| aufgehen. Ist z. B. | A' | eine Potenz von *, 

 so ist A ^= E. Sei 



(8.) |a«>,| (x,l = «i,''2, •■•«.) 



