Frobenius: Darstellung dw" Gruppen durch lineare Substitutionen. II. 4S'.' 



Dann zerfällt auch iA'if/i\' ' = Z in Theilmatrizen der Grade r, r' , ■■■, 

 deren erste ist 



(II.) (tx)K>.)-' (x,X = a,, .,....«,). 



In der Matrix Z ist daher Xf. mit der Hauptinatrix /:,' multiplieirt. 

 Setzt man nun x,f = £/;. also X — E, so wird auch Z~E, und 

 mithin ist L3IN ' = E. Daher sind \L\ und \M\ von Null ver- 

 schieden, und es ist ilfiY"' = L~\ Folglich ist Z — LXL'^ eine zur 

 Gruppe § gehörige Matrix, und ebenso jede der Theilmatrizen, wie 

 (ii.), worin sie zerfällt. 



Die Matrix A hat den Rang r. Nach Primfactoren , §ii ver- 

 halten sich daher die Determinanten r"" Grades der Matrix AX = XA, 

 wie die entsprechenden der Matrix A, unterscheiden sich also nur 

 durch constante Factoren von einander. Nun ist nach (5.) und (7.) 

 die .Summe der Hauptunterdeterminanten r"" Grades von AX gleich 

 <i{xf und von A gleich 1. Folglich ist die Determinante der Matrix 

 (11.) gleich <i{xy. 



§3- 

 Die Matrix (Xpq-i) der Gruppe i3 liabe ich Darstellung, % 5 in eine 

 aequivalente transformirt, die zerfällt in /einander gleiche Theilmatrizen 

 (I.) («„3) (.,ß = l,2.../) 



des Grades /, in /' einander gleiche Theilmatrizen 



(2.) «3) (.,? = !, 2,.../') 



des Grades /', u. s. av. Die f -+/'-+■■■ = Ii Elemente w„5,«l3!-" 

 dieser Matrizen sind // von einander unabhängige lineare Functionen 

 der /; Variabelen Xj;. Ihre Detei-ininanten sind 



I «„ j I = * (a;) , I ii'„r^ I = *'(.c) , • • • . 

 In derselben Weise kann die im vorigen Paragraphen betrachtete zur 

 Gruppe ö gehörige Matrix A" in eine aequivalente transformirt werden, 

 die in s Theilmatrizen (i.), in s Theilmatrizen (2.) u. s.w. zerfällt. 



Ist I X I durch mehrere verschiedene Primfunctionen *, *',••• theil- 

 bar, so kann X nach § 2 in eine zerfallende Matrix transformirt werden, 

 worin jede Theilmatrix eine Potenz einer Primfunction zur Determinante 

 hat. Es genügt daher, die Behauptung für den Fall zu beweisen, dass 

 LY I = $' eine Potenz einer Primfunction 4> ist. 



Die h Variabelen Xj^ sind lineare Functionen der /( Variabelen 

 ««„.E.wls, •••• Drückt man die Elemente .r„, von X durch diese aus, 

 so hängt *, also auch | X \ nur von den /'" Variabelen ?/„; ab. Dass 

 aber auch jedes der n" Elemente x^.,^ nur von diesen Grössen abhängt, 

 ergiebt sich aus den Entwicklungen des i; 2. Nach diesen ist im 



