Frobeniis: Darstellung der Gruppen iliirtli lineare Substitutionen. II. 41)1 



Bestimnuing dieser Determinante genügt es, eine einzige lineare Function 

 Zöfi-i^Ä zu berechnen. Dann ist jede Determinante/"" Grades der 

 Matrix 



(2.) *■/>, Q ~ ^ "fi-' ■^PliQ-i 



bis auf einen constanten Factor gleich *. Während aber der Charakter 

 %(R) durch die Primfunction i> vollständig bestimmt ist, können die 

 k Grössen a^ auf unendlich viele Arten gewählt werden, abgesehen 

 von dem Falle /=1, wo beide Darstelhmgen zusammenfallen. Dies 

 liegt daran, dass %(PQ) = %{QP) ist, während die Grössen a„ dieser 

 Bedingung nicht genügen. • 



Um zu dieser Darstellung von * zu gelangen, brauche ich einige 

 Hülfssätze über Matrizen , die zwar bekannt sind, aber hier kurz ent- 

 wickelt werden sollen. Zur Bequemlichkeit der Darstellung bezeichne 

 ich mit den Zeichen Ä,B,C,-- nicht nur Matrizen A"° Grades, son- 

 dern zugleich bilineare Formen, deren Coefficienten die Elemente jener 

 Matrizen sind, wie in meiner Arbeit Über lineare Substitutionen und 

 bilineare Formen, Grelle's Journal Bd. 84. Die folgenden Sätze gelten 

 für eine beliebige Matrix K (a.a.O. § 13), sollen aber hier nur für 

 eine solche abgeleitet werden, deren charakteristische Determinante 

 |^<£'— Ä"! lauter lineare Elcmentartheiler hat. Dann kann man eine Sub- 

 stitution P (d. h. eine Matrix P von nicht verschwindender Determi- 

 nante) so bestimmen, dass die bilineare Form P'^KP die Normalform 



P(«, '•,+ •■■+ "/Vf) + p' {ii/+i ty+i + • • ■ + W/+/. Vf+f) + ■■■ 



annimmt. Hier sind p,p',--- die verschiedenen Wurzeln jener charak- 

 teristischen Gleichung, und zwar p eine /fache, p' eine /'fache, u. s. w. 

 Da die für u = p verschwindenden Elcmentartheiler von |M^-7ir| alle 

 linear sind, so tangt die Entwicklung 



(3.) („E-Kr = ^+... 



mit der (—1)"''' Potenz von u — p an. Aus der Normalform ist ersicht- 

 lich, dass P~'^AP = Uii\ + ■ ■■ + U/^Vj- ist. Mithin hat ^1 den Rang/ 

 genügt der Gleichung 



(4.) A^ = Ä. 



und es ist 



(5.) \E + nA\ = {u+iy. 



Folglich ist die Summe der Hauptunterdeterminanten /"" Grades von A 

 gleich 1. In der Matrix A, worin die Unterdeterminanten (/+1)"'° Gra- 

 des sämmtlich verschwinden, können daher die Hauptunterdetermi- 

 nanten /'"" Grades nicht alle Null sein. Ist ferner 



