492 Sitzung der pliysikalisch- mathematischen Classe vom 1. Juni. 



u — p 



SO ist P"'-Br = ?<,+ iiV+i + •■■ + W/+/-tV+r; und folglich ist 



(6.) AB = BA = 0. 



Ohne die Normalform zu benutzen , kann man zu diesen Sätzen 

 durch die folgenden Betrachtungen gelangen. Indem man die Glei- 

 chung (3.) einmal quadrirt, das andere Mal nach u differentiirt, er- 

 hält man die beiden Relationen 



{uE-Kr- = ^-^ + ■ ■ ■ , -(,«:- 7v)-^ = - ^— +..., 



{»-P)- (M- Pl- 



ans denen sich sofort die Eigenschaft (4.) ergiebt. (Yergl. Weierstrass, 

 Monatsber. 1858, S. 215). 



Aus der identischen Gleichung 



{ttE-K)({uE-K)-'-{i^E-K)-'){rE-K) = {vE -K) -{uE-K) = {v-n)E 



folgt die Relation 



_iuE-KV-i.E-Kr^ = U,E-K)-H.E-K)-^ . 

 u — v 



Entwickelt man diese Ausdrücke nach aufsteigenden Potenzen von u — 

 und v^—p', so erhält man 



1 {A B \ _ AB 



- P) l«-; 



(u- p)-{v- p') + (p - p')\u- p r - p' J (u-p)(v-p') 



Sind u — p und v — p hinlänglich klein, so kommen in der Entwicklung 

 des ersten Factors der linken Seite nur positive Potenzen von « - 

 und V — p vor, und folglich findet sich links keine negative Potenz 

 von u — p mit einer negativen von «' — p multiplicirt. Daher ist AB = 0. 

 Da (uE — K)~^ eine echt gebrochene rationale Function von u ist, 

 so ist 



(7.) („i;_7v)-> = -iL + _?_+.... 



U — p II — p 



Entwickelt man beide Seiten dieser Gleichung nach absteigenden Po- 

 tenzen von II, so ergiebt sich durch Vergleichung der Coefficienten 



(8.) E = A-\-B^C+--, K= pA + p'B + p"C+--- . 



Dass endlich der Rang von A gleich / ist, kann man so ein- 

 sehen. Ist \l/(«/) = [u-p){u-p'){u-p") ■■■ , so ist -J/iK) = die Glei- 

 chung niedrigsten Grades, der K genügt. Ist dann 



a,(«)-a'(i') 



