Frobenus: nai-stoUiiiii; di'r Gruppen durcli lineare Substitutionen. II. 4'.)3 

 SO ist .auch 



also 



Daher ist 



xh{u)E-xp(K) 



(„£._/,-)-._Ü.(«,Ä- 







^h'(p)g{v) = il;(p.i') = ^ = [c-p')(i,-p")-.- 



v-p 



ist. Mithin ist g{p) = 1, g{p) = 0, </(p") = 0, ■■•. 

 Nun folgt aus (3.) 



({pE~K) + {u-p)E)(^^^ + --.^=.E, 



und mithin ist 



(9-) {pE-K)A = 0. 



Da die Determinante \uE-K\ / lineare Elementartheiler u-p hat, .so 

 ist der Rang der Matrix cE-K gleich h-f. Nach Gleichung (9.) 

 kann daher der Rang der Matrix .4 höchstens gleich / sein. Er muss 

 gleich / sein, wenn sich unter den verschiedenen Spalten von A 

 f unabhängige Lösungen der linearen Gleichungen 



{pe»i- kai) i'i + (pe„o-k„o)c2-{ \-p (e„A - /.•„/, ) C/, =. 



finden, wenn sich also zeigen lässt: Ist X irgend eine Lösung der 

 Gleichung (pE-K)X = 0, so kann man Y so bestimmen, dass X = AY 

 ist. Nun folgt aus KX = pX, dass K'X = pKX = p-X, ■■■, K'X = p"X, 

 also auch g{K)X ^ g{p)X ist, wenn g{v) eine ganze Function von 

 V ist. Ist, Avie oben, {c-c)-d/' (p)g{v) = \l/(«), so ist g(K) = A, g(p) = 1, 

 also ^lA' = X, Avomit die Behauptung bewiesen ist. 



§5. 

 In der Gruppenmatrix X= (Xpq-i) gebe ich den Ä unabhängigen 

 Variabelen Xj^ solche constanten Werthe Xj^ = kj^, dass die /+/'+•■■ 

 Wurzeln p, p , ■•■ der Gleichung ^{li — ui)^'{k — ui)--- = alle unter 

 einander verschieden sind. Ist dann p eine Wurzel der Gleichung 

 /""" Grades *(Ä' — we) = 0, so hat die charakteristische Determinante der 

 Matrix K =^ i^pq-i) f lineare Elementartheiler u-p. Ist nun, nach 

 Potenzen von ^^ — p (oder u — p',---) entwickelt 



A B 



(I.) (uE-K)-'= +•■•= ,+ •••, 



U — p II — p 



