l'iuiüKMi.s: Darstellung- der (iriii)|iiii ilurcli lineare .Siibstitiitidiien. II. 4*.iri 



Die k linearen Gleieliungen (5.) sind den /.• linearen Cilelcliungen (6.) 

 völlig aeijuivalent. Den Gleieliungen (2.) und (5.), dureli die wir ein 

 die Prinifunction $ determinirendes AA'ertlisystem a^ definirt haben, 

 sind aber aueli die Gleichungen (2.) und (4.) aequivalent. Denn 'oben 

 haben wir (5.) aus (4.) erhalten. Benutzt man aber die Bezeichnungen 

 Primfactoren, §1, (6.), so ist nach (2.) df^ = Qj^, also auch d^ = Oj^. 

 Nun ist die Summe der «'"" Potenzen der Wurzeln der Gleichung 

 ^{a—ue) = gleich 



R R 



und da durch die Potenzsummen die Wurzeln völlig bestimmt sind, 

 so ist eine derselben 1, die andere /-l Null. Ebenso erkennt man, 

 dass die /' Wurzeln der Gleichung ^'{a-ue) = alle verschwinden. 

 Daher ist die Determinante Ä"" Grades 



In Folge der Gleichung A" = .4 sind ihre Elementartheiler alle linear. 

 Mithin hat die Matrix A den Rang/ und die Matrix A-E den Rang //-/. 



Ist //ein festes, R ein veränderliches Element von ^, und setzt 

 man (unabhängig von der in Gleichung (3.) benutzten Bezeichnung) 

 b^ = a„^^K,l, so genügen die h Grössen h,, den Gleichungen (2.) und 

 (5.), bilden also ein die Function * determinirendes Werthsystem. 

 Sind allgemeiner Vji h unabhängige Variabele, ist V =: {vpq-^) und 

 V'^AV =^ B = (bpQ-t), so bilden die h Grössen bg ein solches Werth- 

 system {Primfactoren, §1, (9.)). Wie ich jetzt zeigen will, erliält man 

 jedes solche Werthsystem auf diese Weise, d. h. indem man für F jede 

 Gruppenmatrix von nicht verschwindender Determinante setzt. 



Sind in der Gruppenmatrix X = {Xpq-i) die h Grössen Xp unab- 

 hängige Variabele, so kann man (i). § 5) eine constante Matrix L 

 (deren hr Elemente von den Variabelen Xp unabhängig sind, und deren 

 Determinante nicht verschwindet) so bestimmen, dass L~^XL = Z T-ev- 

 fällt in / Matrizen Z^^, Z^,-- Zf des Grades /, die in den Elementen 

 übereinstimmen , in /' Matrizen Zj-^^ , ■■■ Zj^^. des Grades /', u. s. w. 



Die f'+f' H ^ h Elemente der Matrizen Z^ , .2^-^, , • • • sind h von 



einander unabhängige lineare Functionen der h Variabelen Xp. W'enn 

 daher C irgend eine Matrix ist, die in derselben Weise zerfällt, wie Z, 

 und wofür Ci = C, = • •• C^-, C^+i = ■ • • Cj-^,-. , ■■■ ist, so kann LCL'^ aus 

 X erhalten werden, indem man den Variabelen Xp bestimmte Werthe 

 ertheilt. Die charakteristische Determinante von Zi ist <i>{x — U£), die 

 von Zj-j^^ ist ^\x — ut) u. s. w. Die Zeichen L, Z, C bedeuten hier 

 keine Gruppenmatrizen. 



Setzt man .r^^ = Op, so mögen Z und Z, in C und C\ übergehen. 

 Da A' = A ist. so sind die Elementartheiler von 1 ?/£"— ^4 1 alle linear, 



