45)6 Sitzung der physikaliscli-inatiiematischen Classe vom I.Juni. 



also auch die von |t<i5'-C|. Zerfällt aber eine Determinante in Tlieile 

 so sind ihre Elementartheiler die der einzelnen Theile zusammenge- 

 nommen. Folglich sind auch die Elementartheiler von 



\uE,-C,\ = (u-\)nf'' 



linear. Nun sei B = {f>pq-^) eine zweite Matrix, deren Elemente den 

 Bedingungen (2.) und (6.) genügen. Dann zerfällt L'^BL = D ent- 

 sprechend in die Theile D^, 1),, ■■■, und uE^-C^ und uE^-Di stimmen 

 in den Elementartheilern überein. Daher kann man eine Matrix M^ von 

 nicht verschwindender Determinante so bestimmen, dass ÄI'^CiM^ -— D^ 

 ist. Stimmen 31^, ■■■3f^ in den Elementen mit 31^ überein, so ist 

 auch Mz^C^3I^ = Z),, u. s. w. Ebenso bestimme man Mf^^ , 3/[j-^„ , • ■ ■ , 

 und setze aus diesen Theilen die Matrix 31 zusammen. Dann ist 

 LMlr^ = K eine Gruppenmatrix, und aus 3I~^C31 = 1) folgt 



{LML-^y {LCL-') (LML-') = LDL-' 

 oder K-'AK = B. 



Nunmehr ist es auch leicht, die allgemeinste Gruppenmatrix V 

 anzugeben, die A m B transformirt. Sind nämlich «^ // unabhängige 

 Variabele , vmd ist U = (w^q-O , so ist 



(8.) V= AUB+{E-A)l'(E-B). 



Denn aus den Gleichungen A- = A und B^ = B folgt AV = A ÜB 

 und VB = A LB. also AV = VB. Ist ferner K irgend eine gegebene 

 Gruppenmatrix, die der Bedingung K~^AK = B genügt, so kann man 

 den Variabelen Ujt solche Werthe geben, dass V^ K wird. Denn 

 dann ist AK = KB , {E- A)K = K{E-B). Setzt man also U = K, 

 so wird 



V= A(KB) + {E-A) {K{E-B}) = A(AK) + (E-A) ((E-A)K) 



= AK+(E-A)K= K. 



Nun habe ich oben die Existenz einer Gruppenmatrix K bewiesen, 

 deren Determinante nicht verschwindet, und die der Bedingung AK 

 = KB genügte. Für U=K ist daher |T'| von Null verschieden, und 

 folglich kann |T''| für unbestimmte Ujg nicht verschwinden. 



Mit Hülfe des eben entwickelten Satzes kann man aus den quadra- 

 tisclien und linearen Gleichungen (2.) und (5.) allgemeinere lineare 

 Relationen zwischen den Grössen (ij; lierleiten. Die Gruppenmatrix 



C= I y-x,'(PQ"')| ist mit jeder Gruppenmatrix vertauschbar und ge- 

 nügt der Gleichung C" = C. Setzt man also AC = L = (IpQ-,) , so 

 ist X- := L. Auch den Gleichungen (5.) genügen die Grössen Iji, Avie 

 sich aus Primfactoren, § 5, (6.) oder § 8 leicht ergiebt. Daher kann man 

 eine Gruppenmatrix K so bestimmen, dass A =^ K'^ ACK ^ K~^ AKC 

 wird, oder wenn man K~' AK ^= 31 setzt. 3IC ^= A. 



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