Frokeniis: Darstellung der Gruppen diii-cli lineair Substitutioni'ii. II. 4'.)7 



Mitliin ist AC = MC = MC = .1. Ist * ein von <t> verschiedener 



Primfactor von 0, \i/ sein Cliarakter und i> = j !, \t'(PQ~')) , so ist 



Ci) = 0, und daher auch AD = {AC)D = A[CB) = 0. Ist b„ irgend 

 ein die Primfunction Ü determinirendes Werthsystem und B = (bpq-.x), 

 so ist B = BD, und mithin AB = {AC)(BD) = (AB) (CD) = 0. Ist 

 X eine beliebige Gruppenmatrix, so kann man B durch XBX~^ er- 

 setzen. Daher ist aucli A(XBX~^) = und folglicli 



(9.) AXB = 0. 



Die h Grössen a^ genügen demnacli den Gleichungen AC = A oder 



(10.) ix(^'^'-M"/, = 4«s 



und AD = 0. oder 



/ 



i. it- (/?«-')«,,= 0. 



Die letzteren sind , wie die obige Herleitung der Relation AD = 

 aus AC = zeigt, eine Folge der ersteren. Diese Gleichungen (10.) 

 aber, oder {E-C)A = 0, enthalten, da der Rang der Matrix E-C 

 gleich h-f- ist, genau h-f- unabhängige homogene lineare Relationen 

 zwischen den h Grössen a^. Die k Gleichungen (5.) sind aber unter 

 den Gleichungen (10.) und (11.) enthalten, falls man zu diesen noch 

 die nicht homogene Gleichung (7.) hinzunimmt. In der That ist die An- 

 zahl der aufgestellten unabhängigen linearen Gleichungen zwischen den 

 h Grössen o^ h-f-+\ > k, weil h-k = (/'-!) + (/"- 1) + (/"'- 1) + • • • ist. 



Die Gleichungen (5.) lassen sich auf die Form (6.) bringen. In 

 derselben Weise lassen sich die Gleichimgen (10.) und (11.) in 



(12.) /2«i.«Q = ^x,.«pg 



transformiren. wo R die h. Elemente der c'™ Classe durchläuft. 



§6. 

 Ist Ä"= (a:/.(^-i) irgend eine Gruppenmatrix, so setze ich X^={Xq-ip). 

 Ist dann Z = XY, so ist Z = YX. Die beiden Matrizen X und Y sind 

 mit einander vertauschbar. Seien «i , ■ • • ii,- die Wurzeln der Gleichung 

 ^(x-ue) = 0, und t\, ■■■ c,- die der Gleichung ^(y-ue) = 0. Ist dann 

 g{u,v) eine ganze Function von u und r, so sind die Wurzeln der 

 charakteristischen Gleichung der Matrix ^'(-Y, Y) die /' Grössen 



ff(»i- f.), .9("i' ''2)' • • • ffi^h, ly), 5'("2' «-'i)' • • • ffi"f- '•y) 

 und die /"' + /"'+• Grössen, die aus den anderen Primfactoren 

 *', 4>". ■•• von in analoger Weise gebildet sind (Primfactoren, § 10). 



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