498 Sitzung der physikalisch -mathematischen Classe vom I.Juni. 



Daher sind die Wurzeln der charakteristischen Gleichung der Ma- 

 trix XÄ gleich ?/i,?<2> •■■ «V> '^. '^' •■" ^' und folglich ist 

 (i.) |£' + M.A'5 I = (1 + Ml«) ••■(! + "/") = *(^ + '**■)• 



Die Elemente der Matrix XÄ = AX sind 

 (2.) .^p,Q = I -J^«,-. «rr-7? = ^ "V^-'P -''i^r,-' 



Ersetzt man in der Matrix X = {xyq-^) P durch P"' und Q durch 

 Q'\ so erhält man die Matrix (xy-iq). Diese geht also aus jener her- 

 vor, indem man die Zeilen und die Spalten in gleicher Weise unter 

 einander vertauscht. Daher sind beide Matrizen einander ähnlich. 

 Dasselbe Resultat ergiebt sich aus der leicht zu beweisenden Identität 



Vertauscht man dann in (Xp-iq) die Zeilen mit den Spalten, so erhält 

 man die Matrix X^ (Xq-ip). Für die Matrix A' ist daher die Gesammt- 

 heit aller Unterdeterminanten /'" Grades dieselbe wie für X. Mithin 

 ist auch der Rang von A gleich /. Nach Primfadoren, § 1 1 verhalten 

 sich daher die Unterdeterminanten /"" Grades der Matrix XA = AX wie 

 die entsprechenden Unterdeterminanten /"" Grades der Matrix A. Nun 

 ist nach (i.) die Summe aller Unterdeterminanten p"" Grades von XA 

 gleich $(.x'). Mithin ist jede Unterdeterminante /"" Grades von XA 

 gleich der entsprechenden von A, umltiplicirt mit ^[x). 



(3.) |.r^,j| = $(.r)|v./.| (P=A,....AnQ = B,....Bf). 



In der Matrix /"" Grades 



{.Vp_q\. {P = A,,...Ar. q = B,...Bf) 



ist ;i"^ mit der Matrix («Q-ip), multiplicirt. Ist deren Determinante von 

 Null verschieden, so ist, wie ich jetzt zeigen will, 



(4-) (•'■>, q)/ K-.4-' (P = A„...Af:q = B,,...Bf) 



eine zur Gru2)])e i3 gehörige Matrix. 



Setzt man E — A ^ B , so ist der Rang von B gleich h—f= g, 

 und es ist 



Die beiden Determinanten /"" und f/"' Grades 



(5-) \\-^p\ iP = A,,...Ar,Q^B,,...Bf) 

 und 



\l'q-.p\ (P=r,,...C:„; Q = Z>,,...D,,) 



