Frodenius: Darstellung der GiupiuMi duicli lineare Substitutionen. II. 4!)9 



seien von Null verschieden. Sei M die Matrix h}'" Grades, deren Zeilen 

 man aus der Zeile 



%,-'« ' ' ■ ' "«,-'* ' 'v '•••■■' '^'v'A- 



erhält, indem man für R die h Elemente von iö setzt. Sei L' die Matrix, 

 deren Zeilen man in derselben Weise aus 



erhält, und sei L die zu L' conju.^irte Matrix. 



Ich bilde nun die Matrix LXM. Seien a und /3 zwei der Indices 

 1, 2, •••/, und 7 und (5 zwei der Indices 1, 2, ■■■ g. Dann ist in jener 

 Matrix das /3" Element der a"" Zeile 



falls man A^, = P, B^ = Q setzt. Dies ist ein Element der Matrix 

 AXÄ = XÄÄ — XÄ, also gleich a>Q. Das (f+^\° Element der 

 ot"" Zeile ist, falls man A„ = P, Z)j ^ Q setzt. 



R.S 



R-'P XS-' q- 



Dies ist ein Element der Matrix AXB = XAB = 0, verschwindet also. 

 Ebenso verschwindet das /S'" Element der {/+7)"'' Zeile. Endlich ist 

 das (/+ ^T Element der (/+ 7)"=" Zeile, falls man 0^ = P,Di= Q setzt. 



Dies ist ein Element der Matrix BXB = XBB = XB = X - XÄ, also 

 gleich Xpq-,-Xp^Q. 



Die Elemente der Matrix LXM sind lineare Functionen der h Varia- 

 belen Xf^ Sie kann daher als eine lineare Verbindung von h con- 

 stanten Matrizen aufgefasst werden, deren jede mit einer der A Varia- 

 belen x^ multiplicirt ist. Spcciell ist X/.; mit der Matrix 



b, 



multiplicirt, deren Determinante nicht verschwindet. Die Matrix 

 LXMN'^ zerfällt in eine Matrix /"'" Grades 



Kv/)(«x-i>r (P=^^,, ••4; Q = B„...B,) 

 und eine Matrix (/'" Grades 



Giebt man in dieser Darstellung den Variabelen x^ den Werth Sn, setzt 

 man also X=E, so erhält man LMK^^ = E. Daher sind die Determi- 

 nanten von L und M von Null verschieden, und es ist MN~^ ^ L'^. 



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