Über die cogredienten Transformationen der 

 bilinearen Formen. 



Von Gr. Frobenius. 



ürine Schaar vmi bilinearen Formen B= i/B l + rB., heisst unter einer 

 andern Schaar A i/A, + r.\„ enthalten, wenn zwei von u und v un- 

 abhängige lineare Subsl itutionen P und Q gefunden werden können, 

 die .1 in B transformiren ; zwei Schaaren werden aequivalent genannt, 

 wenn jede unter der andern enthalten ist. Da man zu jeder Form 

 Glieder mit verschwindenden Coefflcienten hinzufügen kann, so darf 

 man annehmen, dass die Anzahl m der Variabein der ersten Reihe und 

 die Anzahl n der Variabein der zweiten Reihe für die Form A dieselbe 

 ist. wie für B. Dann kann man die Form A in eine aequivalente Form B 

 durch zwei Substitutionen P und Q überführen, deren Determinanten 

 (von den Graden m und n) nicht verschwinden, so dass B in A durch 

 die inversen Substitutionen P ' und Q ' übergeht. 



Eine Invariante von .1 erhält man, indem man die Coefflcienten 

 von .1 nach m Zeilen und // Spalten ordnet und den grössten gemein- 

 samen Divisor aller Determinanten /rten Grades dieses Systems be- 

 rechnet. Stimmen die so (für k= 1,2,3, ■••) ermittelten Invarianten 

 zweier Formen .1 und B überein, so sind sie aequivalent, falls m = n 

 ist. und die Determinante von A nicht identisch verschwindet. (Weier- 

 strass, Zur Theorie der bilinearen und quadratischen Formen, Monatsber. 

 [868). Ist alier m von n verschieden, oder ist m = n und die Determi- 

 nante von .1 für alle Werthe von u und r Null, so bestehen zwischen 

 den partiellen Ableitungen erster Ordnung von A nach den m + n 

 Variabein lineare Relationen. Ermittelt man ein vollständiges System 

 solcher Relationen, die von möglichst niedrigen Graden sind, so bilden 

 diese Gradzahlen zusammen mit jenen grössten gemeinsamen Divisoren 

 ein vollständiges [nvariantensystem von .1 (Kronecker, Algebraische 

 Reduction der Schaaren bilinearer Formen, Sitzungsber. 1890). 



Ist /// = //. und sind die gegebenen Formenschaaren A = uA 1 + dA 1 

 und II = n Ii x + r II, symmetrisch, oder sind .1, und B l symmetrische, 

 .1. und I! alternirende Formen, so haben Weierstrass und Kroneckeb 



