8 Sitzung der physikalisch - mathematischen Ciasse vom 16. Januar. 



eine beschränktere Art von Aequivalenz untersucht, indem sie die Bedin- 

 gung stellten, dass die Substitutionen P und Q für die beiden Reihen 

 vonVariabeln übereinstimmend [congruent, cogredient) sein sollten, und in 

 gleicher Weise lässt sieh, wie ich gezeigl habe, der Fall behandeln, wo 

 A und B beide altermrendt Formen sind. I>i<- für die Aequivalenz im 

 weiteren Sinne notbwendigen Bedingungen sind selbstverständlich auch 

 für die engere Art der Aequivalenz erforderlich. Dass sie aber auch 

 hinreichend sind, war von vornherein nicht zu erwarten, und darf wohl 

 als eins der interessantesten Ergebnisse jener Entwicklungen angesehen 

 werden. Den eigentlichen Grund dieser merkwürdigen Erscheinung, 

 der aus den bisherigen Untersuchungen schwer zuerkennen ist. voll- 

 ständig aufzudecken, ist der Zweck der folgenden Zeilen. 



Sind irgend zwei Substitutionen P und Q von nicht verschwin- 

 dender Determinante bekannt, die eine symmetrische (oder alternirende) 

 Form A in eine Form B transformiren. die wieder symmetrisch (alter- 

 nirend) ist, so leite ich aus P und Q eine Substitution R ab. die auf 

 beide Reihen von Variabein angewendet -1 in B überfuhrt. Die Dar- 

 stellung der Substitution lt ist von den Formen A und B unabhängig 

 und kann ausgeführt werden, ohne dass die Formen A und B selbst 

 bekannt zu sein brauchen. Sie erfolgt auch für alternirende Formen 

 nach derselben Regel wie für symmetrische. Daher wird jede sym- 

 metrische und jede alternirende Form, die durch die Substitutionen P 

 und <l wieder in eine symmetrische resp. alternirende Form transformirt 

 wird, auch durch die auf beide Reihen von Variahein angewendete Sub- 

 stitution R in dieselbe übergeführt. 



Um den Gedankengang, der mich zu jener Regel geführt hat. kurz 

 darzulegen, bemerke ich, dass alle Paare von Substitutionen X, V, 

 welche die symmetrische (oder alternirende) Form A in die sym- 

 metrische (oder alternirende) Form B überführen, aus einem solchen 

 Paare P, Q hervorgehen, indem man mit dieser alle Paare von Sub- 

 stitutionen U, V zusammensetzt, die .1 in sieh seihst transformiren. 

 Wenn es also cogrediente Substitutionen giebt, die .1 in B transfor- 

 miren, so müssen sie sich unter den Substitutionen X = PI'. Y = VQ 

 befinden. Sind nun P und Q nicht seihst cogredient, so erhält man 

 durch Vertauschung der entsprechenden Variabein der beiden Reihen 

 in .1 und //ans P und <l ein zweites Paar von Substitutionen A . J ,. . 

 die A in B transformiren, und daraus zunächst ein Paar von Sub- 

 stitutionen f '„ •■ I' .V . I V Q . die .1 in sieh selbst transformiren. 

 Au- einem solchen Paar kann man aber, indem man die Substitu- 

 tionen wiederholt anwendet, neue herleiten, und indem man diese in 

 geeigneter Weise linear combinirt, sogar eine ganze Schaar von Sub- 

 stitutionenpaaren I . V gewinnen. Diese Schaar enthält zwar im All- 



