10 Sitzung der physikalisch -mathematischen Ciasse vom 16. Januar. 



hat: Entwickelt man sie nach Potenzen von x u. so haben (x af, 

 (.1 (/)'.... [x a) a ' dieselben Coeflicienten , wie in der Entwicklung 



von /"'(.c) u. S. w. . oder es ist 



Xi") /•'(">• x'(") /•"(")■■•• x<" l Ka) = Fl«~ 1 )(a), 

 X (6)=G(6), x'W=G'(6),--- x ,; ' , K*) = G*- 1 '(*),-". 

 Genügt die ganze Function [m 1)"" Grades S-(#) denselben Bedingungen, 

 so ist C-(.r) x,(#) durch \I(.r) theilbar und nur vom (m— 1)** Grade, 

 also identisch Null. 



Ist z.B. keiner der Werthe a, &, c-- Null, so kann man eine ganze 

 Function (to— l) ten Grades %(x) so bestimmen, dass ( %(#))—# durch \^(x) 

 theilbar wird. Nachdem man nämlich das Vorzeichen von \'a (| l>. ]'<■.-■ ) 

 beliebig gewählt hat. entwickle man yx nach steigenden Potenzen von 

 X ii (x b, X—C,---) in eine Reihe, die mit Ya (Vb> V ''■■■■) anlangt und 

 bezeichne mit F(x) (G(x), H{x) ,■ ■ ) das Aggregat der ersten a(ß, y.- ■) 

 Glieder der Reihe. Ist dann yj.i) die oben bestimmte Function, so langt 

 die Entwicklung von %(x)—]fx nach Potenzen von x— a(x— b,x— <?,•••) 

 mit (■(■-(/)" ((x— b) & , (x—cf---) an. und folglich ist %(x) i —x durch \l(.r) 

 theilbar. Dasselbe Verfahren ist auch anwendbar, wenn a = fl und 

 zugleich a. = 1 ist. aber nicht, wenn dann a>\ ist, weil (y}^')) X 

 für x=0 höchstens von der ersten Ordnung verschwinden kann. 



Ich bediene mich nun der Bezeichnungen und Sätze, die ich in 

 meiner Arbeit Über lineare Substitutionen uiul Itilincarc Formen, (rellks 

 Journ. Bd. 84. entwickelt habe. Sei U eine Form von nicht ver- 

 schwindender Determinante, und sei \J/(C)=0 die Gleichung niedrig- 

 sten Grades, der U genügt, also \l(0) von Null verschieden. Ist dann 

 %(xf— x durch \l(.r) theilbar, so ist 



(x(U)f V. 

 Eine beliebige der auf diese Weise (durch bestimmte Wahl der Wurzeln 

 | 11. | // . yc,--) erhaltenen ganzen Functionen von U bezeiche ich mit 



x {U)=u* = vu. 



Da die Determinante von Y~ gleich |V S | = IVj 1 ist, so ist auch 



die Determinante 



also von Null verschieden. Die conjugirte Form von y}J') : — ' ist 

 %(U') i = I . Unter den verschiedenen Ausdrücken von | U' giebl es 

 also einen, welcher der Bedingung 



vW) u/v 



genügt, und unter den verschiedenen Ausdrücken von (| Ü) einen, 

 der gleich )\l ") ist. In demselben Sinne gilt die Gleichung 



