Frobbnius: Über die cogcedienten Transformationen der bilinearen Formen. 1 1 



VW >) = (\ d ' = v K 



Denn ist V* = I . so ist ( V L ) s I '. Da die Determinante von U 

 nicht verschwindet, so kann man sowohl U~' als auch U ' als ganze 

 Function von / darstellen. 



In ähnlicher Weise lässt sieh jede algebraische oder transcen- 

 dente Function von U detiniren. die sich in der Umgebung der Stel- 

 len d./i. (■.■■■ regulär verhält. Auch kann f(U) kürzer als das Re- 

 siduum von (xE U) '/(.r) in Bezug auf alle Wurzeln der charakte- 

 ristischen (deichung von U erklärt werden. In dieser Weise hat 

 Stiokelbergek in seiner akademischen Antrittsschrift «Zur Theorie der 

 linearen Differentialgleichungen» (Leipzig 1 88 1) die allgemeine Potenz U x 

 detinirt und bei der Lösung von linearen Differenzengleichungen und 

 Differentialgleichungen benutzt. Eine weniger genaue Definition gieht 

 Sylvester, Sur les puissances et lesracines de substitutions UneaireSj Compt. 

 Rend. 1SS2. vol. 94. p. 55. Wie bei der Herleitung der TAYLOR'schen 

 Reihe aus dem ('Arcnv'schen Integral gelangt man von der obigen 

 Definition aus am einfachsten zur Entwicklung von f(U) in eine con- 

 vergente aach Potenzen von ?" oder JJ—aE fortschreitende Reihe. In 

 dieser Gestall wird die Function e l deiinirt und benutzt von Schür, 

 Zur Theorie der unendlichen Transformationsgruppen, Math. Ann. Bd. 38. 



Sind .1 und B zwei Formen von nicht verschwindender Deter- 

 minante, und setzl man 



l'= B(.\BfK 

 SO ist 



l'.ir B(AB)~*(AB)(AB)~* = B, 



also 



/'.!/'= B . /' '/>'/'-' = A. 



Es gill folglich der Satz: 



Sind .1 'S a ..r //. und />' — X h x ,/ . zwei beliebigt biUneare For- 

 111,11. deren Determinanten von Null verschieden sind, so giebt es zwei 

 Substitutionen von der Form 



('■> •'•,<^^./'.,' 1 '. ■ .'/,. =^/',. •.'/'■ ■ 



<tit .1 in II transformiren. 



In Bezug auf solche Substitutionen möchte ich noch die folgende 

 Bemerkung hinzufügen: Die Bedingungen dafür, dass zwei Schaaren 

 von bilinearen Formen durch zwei Substitutionen der Form (1.) in 

 einander transformirt werden können, haben nicht alle die separirte 

 Form, dass gewisse Invarianten der einen den entsprechenden der 

 andern gleich sind. Auch ist es bei dieser Beschränkung der Aequi- 



