Probend s: [7ber die cogredienten Transformationen der bilinearen Formen. 13 

 trnnsformirt werden, deren Coefficienten 



ein alternirendes System bilden, nämlich q a ß = ip a &- Sind allgemeiner 



". und ii ,. /». und b t ,,. . y a und x a , //. und x' a conjugirt complexe 

 Grössen, so kann man die bilineare Form A durch zwei Substitu- 

 tionen (i.) in IS transformiren , in denen p lct und /> fti conjugirt com- 

 plexe Grössen sind. 



§ - 1 - 

 Sei .1 eine bilineare Form von n Variabeinpaaren, seien P und Q 

 zwei Substitutionen von nicht verschwindender Determinante, und sei 



PAQ = B 

 eine mit .1 aequivalente Form. Sind A und B beide symmetrisch 

 oder beide alternirend, so erhält man durch Übergang zu den con- 

 jugirten Formen 



Q'AP' = B 

 und mithin 



FAQ = Q'AP', {<>'- l l')A = A(P'Q-i), 



oder wenn man Q'~ l P = U, also P'Q l = U' setzt, 



UA = AU'. 



Daher ist U a A=UAÜ' = AU'\ allgemein U*A = AU'*, also auch 

 wenn ■/}!') eine beliebige ganze Function von U ist, 



X(U)A = A X (U'), 

 und wenn die Determinante von yjU) nicht verschwindet, 

 x (U)-iA x {U') = A, P x (Uy*A x (ü')Q = B, 



also wenn man 



Px(U)~ 1 =S, X{U')Q = B 



setzt. SAR = B. Sollen nun diese Substitutionen cogredient sein, so 

 muss S It '. also 



P (U)-i = Q' x (U), U=Q'-*P=x(U)\x(U)=l A 

 sein, und umgekehrt, wenn 



/.' [P'Q-^Q, 



isl . so ist auch 



HAH - H. 



Sind .1, , .1, . .1 , . ... mehrere symmetrische oder alternirende For- 

 men der Art. dass die Formen /M,Q. PA 2 Q , PA X Q ■■ ■ ebenfalls sym- 

 metrisch bez. alternirend sind, so ist. da R nur von P und Q ab- 

 hängt, aber nicht von .1 und B. 



PAiQ= H'. I , /{ . I'A, Q = H'. 1, R . • 



