Probend s: Über die cogredienten Transformationen der bilinearen Formen. 1 •> 



mithin, wenn die Determinante von yjl') nicht verschwindet, 



X (U)- l A X (V) A. P X (U)->A X (V)Q = B. 

 Setzl man also 



Px(U)-' />• x(V)Q s, 



so isl 



RAS B. 



Ist R eine orthogonale Form, so ist auch N- A { R l B eine solche. 

 Dazu ist erforderlich, dass /.' R ', also, weil l" - U—P'P ist. dass 



X(l') '/'' X (U)P ' . /' P'P=xi.U)\ xC'l tP 

 isi. Sind .1,. .l,..l . ■■• mehrere orthogonale Formen, die durch die 

 Substitutionen /'. Q wieder in orthogonale Formen B x , B,,, B 3 , ■■■ über- 

 gehen, so kann man. da R und S von .1 und B unabhängig sind, zwei 

 orthogonale Substitutionen R, S so bestimmen, dass 



I! i u, . I , r k s A 3 + », .!,+ •••)>'- »i B\ + '<■■ Ba 4 " :! B 3 + • • • 

 wird, und dass R und S von den Parametern n t . h., . u,, ■ ■ ■ nicht 

 abhängen. 



Seien .1 und B zwei ähnliche Formen, die beide symmetrisch. 

 oder beide alternirend, oder beide orthogonal sind. Es giebt also eine 

 Substitution P, die der Bedingung 



/' 'AI' H 

 genügt. Daher ist auch 



P L(A-rE)P= B-rE, 

 also sind die Formenschaaren A - vE und B - rE aequivalent. Nun ist 

 die Form E sowohl symmetrisch als orthogonal. Man kann daher die 

 Regeln dieses oder des vorigen Paragraphen anwenden und erhält das 

 Resultat : Ist P eine beliebige Substitution, so ist stets 



R = {PP')~ *P= {PP'fP'-* 

 eine orthogonale Substitution (Kelland and Tait, QuaternionSj Chap. X.). 

 Diese genügl der Bedingung 



R'AR = R l AR= B. 

 So ergiebt sich der Satz, den ich in Creli.k'.v Journal Bd. 84. S. 21 und 

 58, abgeleitel habe: 



Sind zwei symmetrische oder zwei alternirende oder zwei orthogonale 

 Formen ähnlich; so sind sie mich congruent undTcönnen durch eine orthogonale 

 Substitution in einander transformirt werden. 



Die Form U= PP' = PHP' ist der Form E congruent. Setzt man 

 also die entsprechenden Variabein der beiden Reihen einander gleich, 

 so geht die symmetrische bilineare Form U in eine quadratische Form 

 über, die durch die Substitution P ' in eine Summe von Quadraten 

 transformirt wird. Dieselbe ist daher, wenn die Coefhcienten von P 

 reell sind, eine delinite positive Form, und folglich sind die Wurzeln 



