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Über vertauschbare Matrizen. 



Von G. Frobenius. 



Im Jahre 1884 veröffentlichte Weierstrass in den Göttinger Nach- 

 richten eine Arbeit Zur Theorie der aus n Haupteinheiten gebildeten com- 

 plexen Grössen, deren Ergebnisse er schon 1861 in seinen Vorlesungen 

 vorgetragen hatte, und im Jahre 1885 legte Dedekind ebenda unter 

 demselben Titel seine eigenen diesen Gegenstand betreffenden Unter- 

 suchungen vor. die er zum Theil schon 1 87 1 in der zweiten Auf- 

 lage der DiRiCHLET'schen Vorlesungen über Zahlentheorie mitgetheilt 

 hatte. Sieht man von der philosophischen Einkleidung jener Ent- 

 wicklungen ab, so bildet ihren Angelpunkt ein algebraischer Satz, 

 der, wie auch Dedekind (S. 157, (90)) besonders hervorhebt, alle 

 übrigen Resultate in sich begreift. Dieser gilt aber in einem wei- 

 teren Umfange, d. h. unter geringeren Voraussetzungen, als er in 

 jenen Arbeiten bewiesen ist, und lässt sich in rein algebraischer Form 

 so aussprechen: 



I. Sind a ajiy («, ß = 1 . 2 , ■ • • n ; y = 1 , 2 , •■ ■ m) irgend mri~ Grössen, 

 die den Bedingungen 



2 a„>. y «,. ji = ^ a«>.4 «>. : jy 



genügen, und setzt man 



C'ah = i, »a&y Xy, 



y 



so ist die Determinante n' m Grades | a al | ein Product von n linearen Functionen 

 der 111 unabhängigen Variabel)! a\, x. 2 , ■ ■ • x M . 



Dieser Satz lässt sich noch etwas verallgemeinern. Schon Study 

 hat in seiner Arbeit Über Systeme von complexen Zahlen (Göttinger 

 Nachrichten, 1889) daraufhingewiesen, dass viele der in diesem Zu- 

 sammenhange abgeleiteten Resultate sich von bekannten Sätzen der 

 Theorie der linearen Transformationen nur in der Ausdruckswcisc 

 unterscheiden. Ich werde mich daher hier der symbolischen Bezeich- 

 nung für die Zusammensetzung der Matrizen (Formen) bedienen, die 

 ich in meiner (im Folgenden mit L. citirten) Arbeit Über lineare Sub- 

 stitutionen und bilineare Formen (Crelle's Journal, Bd. 84) auseinander- 

 gesetzt habe. Mit ihrer Hülfe kann dann der Satz so formulirt werden: 



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