602 Gesamuatsitzung vom 21. Mai. 



II. Ist f{x, y, z, ■■■) eine beliebige Function der m Variabein x, y, z, ■ ■ ■, 

 sind A, B, C, ■■■ m Formen, von denen je zwei vertauschbar sind, und 

 sind a l , a. 2 , a 3 , ■ ■ ■ (resp. b x , b 2 , b 3 •••; c x , <" 2 , c 3 , ■ ■ ■) die Wurzeln der 

 charakteristischen Gleichung von A (resp. B, C, ■■ •), so hissen diese Wur- 

 zeln sich einander, und zwar unabhängig von der Wahl von f, so zuord- 

 nen, dass die Determinante der Form f(A, B, C, ■■ ■) gleich dem Producte 



/(«!, 6,, c,, •••) /(a»,6 a ,c a , •••) f(a 3 ,b 3 ,c 3 , •■•)■•■ 



wird. 



Wendet man diesen Satz auf die Function r—f(x,y,z,-) an, 

 wo r ein unbestimmter Coefficient ist, so erkennt man, dass er iden- 

 tisch ist mit dem (scheinbar) allgemeineren Satze: 



III. Die Grössen f(a x , b x , c lt •••), f(a 2 , b 2 , c 2 , ■ ■ ■), f{a 3 , b 3 , c 3 , ■■■),-■ • 

 Sind die Wurzeln der charakteristischen Gleichung der Form f(A, B, C, ••■). 



Der Satz enthält, da die Zuordnung der Wurzeln für jede 

 Function / dieselbe ist, in sich selbst das Mittel, dieselbe zu definiren. 

 Sind nämlich x,y,z,--- unabhängige Variable (unbestimmte Coeffi- 

 cienten) , und wendet man ihn auf die Form Ax + By + Cz + ■ ■ ■ an , so 

 erkennt man, dass 



a x x + b r y + c x z + ■■-, a 2 x + b 2 y + c 2 z + • • • , a 3 x + b 3 y + c 3 z + ■ • • , 



die Wurzeln ihrer charakteristischen Gleichung sind, wodurch die 

 gesuchte Zuordnung bestimmt ist. Dies Theorem ist eine Verallge- 

 meinerung des L. §3, III entwickelten Satzes: 



IV. Sind i\, r 2 , •••?'„ die Wurzeln der charakteristischen Gleichung 

 der Form A, so sind f(r x ),f(r 2 ), ■■■/(>;,) die Wurzeln der charakteristischen 

 Gleichung der Form f(A). 



Setzt man diesen leicht zu beweisenden Satz als bekannt vor- 

 aus, so braucht man, um zu dem allgemeinen Satze III zu gelangen, 

 nur noch folgenden speciellen Fall davon zu beweisen: 



V. Sind A und B zwei mit einander vertauschbare Formen, und 

 sinil X und y zwei Variable, so sind die Wurzeln der charakteristischen 

 Gleichung der Form Ax + By ganze lineare Functionen von x und y. 



Denn nehmen wir diesen Satz als bewiesen an, so ist die Determi- 

 nante der Form Er + Ax + By gleich (r + a x x + b x y) (r + a t x + b 2 y) ■ ■ ■ . 

 Setzt man x = 1 und y = 0, so erkennt man, dass a l , a 2 , ■ ■■ die Wurzeln 

 der charakteristischen Gleichung von A, oder wie ich der Kürze halber 

 sagen will, die Wurzeln von A sind, und ebenso, dass b lt b t , ■■■ die- 

 selbe Bedeutung für B haben. Ist nun die. Form C mit A und B ver- 

 tauschbar, so ist C auch mit Ax + By vertauschbar. Daher lassen sich 

 die Wurzeln o, x + b x y , a. 2 x + b. 2 y, ■■■ von Ax + By den Wurzeln r, . c, . ■■■ 

 von C so zuordnen, dass die Wurzeln von (Ax + By) + (z gleich 

 (a 1 x + bjfA + ^z, (a 2 x + b.,y) + c 2 z, ••• werden. Ebenso erkennt man, dass 



