Frobenius: Über vertauschbare Matrizen. 603 



der analoge Satz für ein System von beliebig vielen Formen gilt, von 

 denen je zwei mit einander vertauschbar sind. Nach dem Satze L. § 1, II 

 behält aber das System diese Eigenschaft, wenn man zu seinen Formen 

 beliebige Functionen von A, B, C, ■■■ hinzufügt. Fügt man zunächst 

 A 2 hinzu , und sind \ , h s • • • die Wurzeln von A 2 in passender Anord- 

 nung, so sind a v x + b„y + c„z + ■ ■ ■ + h„u (v = 1 , 2 • • • n) die Wurzeln von 

 Ax + By + Cz ■■ ■ + A 2 u. Setzt man?/ = z= ■■■ — 0, so sind also a„x + h,,u 

 die Wurzeln von Ax + A 2 u, und da diese nach Satz IV gleich a„x + a 2 u 

 sind, so muss A„ = d; sein. Ebenso sind die Wurzeln der Form 

 Ax + By + Cz + ■ ■ ■ + A 2 u + B 2 v + ABw gleich a v x + b„y + c r z + ■■■ +a 2 u 

 + b';,D + h„io, wo \ , h i} • • • h n die Wurzeln der Form AB = BA in passender 

 Anordnung sind. Andererseits sind die Wurzeln der Form pA + qB 

 gleich p7„ + qb„ und daher die Wurzeln der Form Ax + By + Cz + • • • 

 + (pA + qB) 2 gleich a v x + b v y + c„z + ■■■ + {pa„ + qb t ) 2 . Die Vergleichung 

 dieser beiden Ergebnisse zeigt, dass h„ = a v b„ ist. Wenn man also durch 

 Zerlegung der Determinante von Ax + By in ihre linearen Factoren 

 findet , dass den Wurzeln a 1} a a , ■■■ a„ von A die Wurzeln b^,b. 2 , ■■■ b„ 

 von B in dieser Reihenfolge entsprechen, so sind a l b l , a^b.^ ■■■ a :l b n die 

 Wurzeln von AB in der entsprechenden Reihenfolge (vergl. L. § 7, XII). 

 Daher sind die Wurzeln von (AB) C entsprechend geordnet gleich 

 («ib^Ct, (a 2 b 2 )c 2 , ■■■ (a u b^c n . So erhält man den Satz III für ein Pro- 

 duct von beliebig vielen Formen und weiter für eine beliebige lineare 

 Verbindung solcher Producte, also für eine beliebige Function von 

 A,B,C,--. 



Auf Grund dieser einfachen Bemerkungen haben wir uns also 

 nur noch mit dem Beweise des Satzes V zu beschäftigen. Dabei 

 werde ich von dem Inhalt der Arbeit L. möglichst wenig voraus- 

 setzen und zugleich die Gelegenheit benutzen, einige der Sätze, die 

 ich dort mit Hülfe einer unendlichen Reihe erhalten habe, auf einem 

 einfacheren Wege abzuleiten. 



Die oben angegebenen Sätze über vertauschbare Formen kannte 

 ich schon zur Zeit der Abfassung der Arbeit L. , wie man aus einigen 

 darin gegebenen Andeutungen leicht erkennt. Einen Theil meiner 

 Resultate über die vertauschbaren Formen habe ich L. § 7, Satz Xu 

 bis XV zusammengestellt. Dieselben sind von Voss (Übe?' die mit einer 

 blUneareii Forin vertauschbaren bilinearen Formen^ Sitzungsber. d. math.- 

 phys. Classe der Akad. zu München, Bd. XIX, S. 283) mit Hülfe der 

 Normalform von Weierstrass bewiesen. Wenn ich bisher nicht auf 

 diese Ergebnisse zurückgekommen bin, so hat dies folgenden Grund: 

 Sind die Formen A,B, C, ■■■ alle Functionen einer und derselben 

 Form R, so sind je zwei von ihnen vertauschbar. Für diesen Fall 

 ergeben sich die aufgestellten Sätze alle aus dem Satze IV. Sie würden 



