f)04 Gesammtsitzung vom 21. Mai. 



also von trivialem Inhalte sein, würde der Satz gelten: Sind je zwei 

 der Formen A,B, C, ■■■ vertauschbar, so lassen sie sich alle als 

 Functionen einer und derselben Form R darstellen. Dieser Satz wäre 

 ein Analogon eines bekannten AßEi/schen Satzes aus der Theorie der 

 algebraischen Gleichungen. Während man aber bei dem algebraischen 

 Satze für R eine Function von A,B, €',•■■ wählen kann, ist dies, 

 wie das einfachste Beispiel zeigt, hier nicht der Fall. Denn ist 



so ist A 2 = B 2 = AB = BA = 0. Also ist jede Function von A und B 

 von der Form F — aA + bB + cE, und jede Function von F von der 

 Form pE+qF. 



Ob aber ohne diesen Zusatz jener Satz der Formentheorie richtig 

 ist oder nicht, habe ich bisher noch nicht entscheiden können. Im 

 Zusammenhang damit steht eine andere Frage in der Theorie der 

 vertauschbaren Matrizen, die bisher noch nicht gelöst ist, nämlich 

 die nach der Beschaffenheit eines Systems von m linear unabhängigen 

 Matrizen (des Grades n), von denen je zwei vertauschbar sind, und 

 nach dem grössten Werthe, den in haben kann. 



8 i- 

 Ist die Determinante a = \A\ der Form A von Null verschieden, 

 so giebt es eine inverse Form Ar 1 , welche durch jede der beiden 

 Bedingungen 



(i.) AÄ-' = A- 1 A = E 



eindeutig bestimmt ist. Multiplicirt man sie mit der Determinante a, 

 so heisst aA' 1 die adjungirte Form und soll mit A bezeichnet werden. 

 Sie besteht aus den Elementen A„ s , wo b aß in der Determinante |^i| 

 die dem Elemente a &a entsprechende Unterdeterminante, also eine 

 ganze Function der Elemente von A ist, und kann daher auch ge- 

 bildet werden , wenn a = ist. Sie genügt den Gleichungen 



(2.) AÄ=ÄA = aE. 



Die Determinante 



13-1 \rE-A\ = <p(r) 



heisst die charakteristische Function , die Gleichung <p(r) = die cha- 

 rakteristische Gleichung von A. Die adjungirte Form von rE-A ist 



