Frobenius: Über vertauschbare Matrizen. 605 



eine Forin F, deren Elemente ganze Functionen {n-l) ten Grades von r 

 sind, und die deshalb auch mit F(r) bezeichnet werden mag. Dann ist 



( 4 . ) (rE - A) F{r) = F{r) (rE - A ) 



und 



(5.) (rE-A)F(r) = <p(r)E. 



Entwickelt man 



F(r) = F + F 1 r+F,r*+--- 



nach Potenzen von r, so ergiebt sich aus (4.), dass jede der Formen 

 F , F lt F%, ••• mit A vertauschbar ist. Ist 



cp (r) = a + Ö! r + a % r 2 + •■■ + a„r", 

 so ergeben sich aus (5.) die Gleichungen 



-AF = a E, 



-AF X +F = 0l E, 

 -AF a +F 1 = aiE, 



■AF^ 1 + F^ a =a^ 1 E, 

 #_, = a„ E. 



Ist nun B eine andere Form, so multiplicire man diese Gleichungen 

 rechts mit B° , B 1 , ■■■ B" und addire sie. Setzt man 



F(B) = F + F 1 B+ ■■■ + F^B"- 1 , 

 so erhält man 



(6.) -AF(B) + F(B)B = <p(B). 



Bei der besonderen Vorsicht, womit man bei der Bildung von 

 F(B) auf die Stellung von B zu achten hat, wird man von diesem 

 Resultate nur dann vortheilhaft Gebrauch machen können, wenn B 

 mit jeder der Formen F , F lf F i} ••■ vertauschbar ist. Dann ist 



(7.) (B-A)F(B) = V {B), 



d. h. aus der Gleichung (5.) geht wieder eine richtige Gleichung 

 hervor, wenn man darin die Unbestimmte r durch irgend eine mit 

 A und F(r) vertauschbare Form B ersetzt, ein Princip, von dem ich 

 in der Arbeit L. ausgiebig Gebrauch gemacht habe. Setzt man B = A, 

 so erhält man die Gleichung 



(8.) ?(4) = 0. 



Dieser Fundamentalsatz der Formentheorie ist von Cayley ge- 

 funden und, wie ich glaube, zuerst in A Memoir on ihe Theory of 

 Matrices, Phil. Trans, vol. 148 veröffentlicht worden, aber ohne allge- 

 meinen Beweis. In der oben angegebenen Gestalt wurde er von 



